Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex2857] escp courts S 2018 Soient \(n\) et \(m\) deux entiers tels que \(n\geqslant m\geqslant 1\), et \(p\in\left]0,1\right[\). On considère deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) définies sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{A},\mathbf{P})\), indépendantes, telles que \(X\hookrightarrow\mathscr{B}(n,p)\) et \(Y\hookrightarrow\mathscr{B}(m,p)\).

On pose \(D=X-Y\). Donner la loi de \(D\) ; calculer son espérance et sa variance.

[examen/ex0565] centrale PC 2023 On dispose d’une pièce donnant pile avec un probabilité \(p\in\left]0,1\right[\). On lance cette pièce jusqu’à obtenir pile. On note \(N\) le nombre de lancers nécessaires pour obtenir ce premier pile. On lance ensuite \(N\) fois cette pièce et on note \(X\) le nombre de pile obtenus au cours de ces \(N\) lancers.

1. Quelle est la loi de \(N\) ? Donner la loi du couple \((N,X)\).

2. En déduire la loi de \(X\).

3. Soit \(\lambda\in\left]0,1\right[\). Soient \(U\), \(V\) deux variables aléatoires indépendantes telles que \(U\sim\mathscr{B}(\lambda)\) et \(V\sim\mathscr{G}(\lambda)\). Trouver \(\lambda\) tel que \(UV\sim X\).

4. Calculer \(\mathbf{E}(X)\) et \(\mathbf{V}(X)\).

[probas/ex0241] Une urne contient \(N\) boules numérotées de 1 à \(N\). On effectue \(N\) tirages avec remise et on note \(Z_n\) le nombre de numéros non encore sortis à l’issue du \(n\)-ième tirage.

1. Déterminer la loi de \(Z_1\).

2. Calculer \(E(Z_n)\).

3. Déterminer la probabilité d’obtenir au \(n\)-ième tirage un numéro qui n’est pas encore sorti.

[planches/ex7419] ccinp PC 2021 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé. On suppose que \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\) avec \(p\in\left]0,1\right[\) et que \(Y\) suit la loi uniforme sur \(\{0,1,\ldots,n\}\).

On définit la variable aléatoire \(Z\) par \(\forall\omega\in\Omega\), \(Z(\omega)=\cases{X(\omega)&si $X(\omega)\neq0$\cr Y(\omega)&si $X(\omega)=0$.}\)

Déterminer la loi de \(Z\) et son espérance.

[probas/ex0143] On dispose d’un dé cubique normal, d’une urne \(A\) contenant 2 boules blanches et 4 noires et d’une urne \(B\) contenant 3 boules blanches et 4 rouges. Les tirages ont lieu sans remise. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre obtenu sur le dé. Si \(X\) est divisible par 3, on tire deux boules de l’urne \(A\). Sinon, on tire \(X\) boules de l’urne \(B\). Soit \(Y\) le nombre de boules blanches obtenues.

Déterminer la loi de \(Y\), son espérance mathématique et sa variance.