Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex8696] ensam PSI 2016 Soient \(X_1\) et \(X_2\) deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi géométrique de paramètre \(p\). On pose \(q=1-p\) et \(Y=|X_1-X_2|\).

1. Calculer \(\mathbf{P}(Y=0)\). Soit \(n\in\mathbf{N}\). Montrer que \(\mathbf{P}(X_1-X_2=n)=\displaystyle{pq^n\over1+q}\). En déduire la loi de \(Y\).

2. Montrer que \(Y\) admet une espérance et la calculer.

3. Montrer que \(\mathbf{E}((X_1-X_2)^2)=2\mathbf{V}(X_1)\). En déduire que \(Y\) admet une variance et la calculer.

[probas/ex2316] Vrai ou faux ?

Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires ayant même loi et admettant une variance. Alors \(\mathbf{E}(XY)=\mathbf{E}(X^2)\).

[oraux/ex8323] polytechnique, espci PC 2015

1. Soient \((x,y)\in(\mathbf{R}_+)^2\) et \((p,q)\in(\mathbf{R}_+^*)^2\) tel que \(1/p+1/q=1\). Montrer : \[x^{1/p}y^{1/q}\leqslant{x\over p}+{y\over q}.\]

2. Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires positives. Montrer : \[\mathbf{E}(XY)\leqslant\mathbf{E}(X^p)^{1/p}\mathbf{E}(Y^q)^{1/q}.\]

[oraux/ex6074] escp S 2014 Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé \((\Omega, \mathscr{A}, P)\) admettant un moment d’ordre \(2\).

Déterminer la valeur qui minimise l’application définie sur \(\mathbf{R}\) par \(x\mapsto E((X-x)^2)\), où \(E\) désigne l’opérateur espérance.

Dans la suite de l’exercice, on considère un ensemble fini \(\Omega=\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}\) et \((\Omega, \mathscr{P}(\Omega), P)\) un espace probabilisé de support \(\Omega\).

Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur cet espace. Pour tout réel \(t\), on définit l’application \(P_t~: \Omega \rightarrow \mathbf{R}\) par : \[\hbox{pour tout }A\in\mathscr{P}(\Omega),\ P_t(A)={E({\bf 1}_A\, e^{tX})\over E(e^{tX})}\] où \({\bf 1}_A\) est la fonction indicatrice de l’ensemble \(A\).

1. Montrer que l’on définit ainsi une probabilité sur \(\Omega\) et que pour tout \(\omega\in \Omega\) : \[P_t(\omega)={P(\omega)e^{tX(\omega)}\over E(e^{tX})}\]

2. 1. Soit \(Y\) une variable aléatoire définie sur \((\Omega,\mathscr{P}(\Omega),P_t)\). Calculer \(E_t(Y)\).

   2. Que peut-on dire de \(E_t(Y)\) si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes ?

   3. Dans cette question \(\Omega=\{0, 1, \ldots, n\}\) et \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\). On pose \(Y=2^X\). Calculer \(E_t(Y)\).

3. On revient au cas général. À l’aide de la question préliminaire, montrer que : \[E_t((X-E_t(X))^2) \leqslant{1\over4}\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{\omega\in\Omega}X(\omega)- \mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits_{\omega \in \Omega} X(\omega)\right)^2\]

[concours/ex4643] escp S 2004

1. Soient \(X\) une variable aléatoire finie ou discrète qui possède une espérance et \(Y\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\left\{ 1,\ldots,p\right\}\). On suppose que \(P\left( Y=i\right) >0\) pour tout \(i\in \left\{ 1,\ldots ,p\right\}\).

   1. Soit \(i\in \left\{ 1,\ldots ,p\right\}\). Montrer que la loi conditionnelle de \(X\), conditionnée par l’événement \((Y=i)\) admet une espérance qu’on notera \(E(X/Y=i)\).

   2. Prouver la formule suivante : \(E(X)=\sum\limits\limits_{i=1}^{p}E(X/ Y=i)P\left( Y=i\right)\).

2. Soit \(n\) un entier non nul. Montrer que l’on a : \(\sum\limits\limits_{k=1}^{n}k^{2}=\displaystyle{n(n+1)(2n+1)\over6}\).

3. Un technicien assure la maintenance de \(n\) machines-outils de même type qui sont alignées. Deux machines consécutives sont distantes d’une longueur \(\ell\). De temps en temps les machines outils s’arrêtent avec la même probabilité et indépendamment les unes des autres et nécessitent un réglage. Après le réglage d’une machine-outil le technicien reste devant celle-ci, jusqu’à ce qu’une autre machine-outil s’arrête (si c’est la même machine qui retombe en panne, il reste à sa place). La variable aléatoire \(X\) est la distance que parcourt le technicien entre deux réglages. On note \(Y\) la variable aléatoire qui prend pour valeur le numéro de la machine devant laquelle se trouve le technicien.

   1. Calculer l’espérance de \(X\).

   2. Déterminer la variance de \(X\).