Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex8696] ensam PSI 2016 Soient \(X_1\) et \(X_2\) deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi géométrique de paramètre \(p\). On pose \(q=1-p\) et \(Y=|X_1-X_2|\).

1. Calculer \(\mathbf{P}(Y=0)\). Soit \(n\in\mathbf{N}\). Montrer que \(\mathbf{P}(X_1-X_2=n)=\displaystyle{pq^n\over1+q}\). En déduire la loi de \(Y\).

2. Montrer que \(Y\) admet une espérance et la calculer.

3. Montrer que \(\mathbf{E}((X_1-X_2)^2)=2\mathbf{V}(X_1)\). En déduire que \(Y\) admet une variance et la calculer.

[probas/ex0008] Dans un casino, un croupier mélange trois cartes : As de cœur, Roi de cœur, Valet de pique et les présente face cachée sur une table. Un joueur choisit l’une de ces trois cartes au hasard. Si c’est un cœur, il gagne 1€ si c’est l’As, 2€ si c’est le Roi et le jeu recommence. Si c’est le Valet de pique, le jeu s’arrête.

On note \(N\) le nombre de cartes tirées avant l’apparition du Valet de pique et \(S\) la somme gagnée (en €).

1. Déterminer la loi de \(N\). Quelle est la probabilité que le Valet de pique ne soit jamais tiré ?

2. Déterminer la loi de \(S\) sachant \([N=n]\).

3. Quel prix minimum le casino soit-il faire payer une partie pour ne pas être perdant en moyenne ?

[planches/ex5660] ccp PSI 2019 On considère \(2n\) lapins sélectionnés aléatoirement dans un enclos à lapins. La probabilité qu’un lapin soit mâle est \(1/2\). On note \(M\) la variable aléatoire égale au nombre de lapins mâles obtenus et \(C\) la variable aléatoire égale au le nombre de couples possibles (un lapin mâle \(+\) un lapin femelle).

1. Donner la loi de \(M\).

2. Donner une relation entre \(C\) et \(M\).

3. Donner la loi de \(C\).

4. Calculer l’espérance de \(C\).

[concours/ex5019] escp S 2000 Si \(X\) est un ensemble, on note \({\cal P}(X)\) l’ensemble des parties de \(X\) et pour tout entier naturel \(k\), \({\cal P}_k(X)\) désigne l’ensemble des parties de \(X\) à \(k\) éléments.

Dans tout l’exercice, \(n\) est un entier naturel non nul et \(E_n\) désigne l’ensemble \(\{1,2,\ldots ,n\}\).

1. Soient \(a\) et \(b\) deux entiers tels que \(1\leqslant a\leqslant n\) et \(1\leqslant b\leqslant n\). On tire au hasard une partie \(A\) dans \({\cal P}_a(E_n)\) et une partie \(B\) dans \({\cal P}_b(E_n)\). On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre d’éléments de \(A\cap B\) et \(Y\) la variable aléatoire égale au nombre d’éléments de \(A\cup B\).

   1. Dans le cas particulier où \(n=7\), \(a=4\), \(b=2\), déterminer la loi de \(X\).

   2. Dans le cas général, calculer l’espérance des variables \(X\) et \(Y\).

   3. Sous la contrainte \(a+b=n\), quels sont les couples \((a,b)\) pour lesquels l’espérance de \(X\) est maximale ?

2. On tire au hasard une partie \(C\) dans \({\cal P}(E_n)\), puis on tire au hasard une partie \(D\) dans \({\cal P}(C)\). On note \(Z\) la variable aléatoire égale au cardinal de \(D\).

   Déterminer la loi de \(Z\) et son espérance.

[probas/ex0143] On dispose d’un dé cubique normal, d’une urne \(A\) contenant 2 boules blanches et 4 noires et d’une urne \(B\) contenant 3 boules blanches et 4 rouges. Les tirages ont lieu sans remise. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre obtenu sur le dé. Si \(X\) est divisible par 3, on tire deux boules de l’urne \(A\). Sinon, on tire \(X\) boules de l’urne \(B\). Soit \(Y\) le nombre de boules blanches obtenues.

Déterminer la loi de \(Y\), son espérance mathématique et sa variance.