Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex4224] centrale MP 2011 (avec Maple)

Déterminer une équation cartésienne de l’ensemble des points \(M\) équidistants du plan d’équation \(x+y+z=0\) et de la droite d’équations \(x=z\), \(y=0\). Quelle est la nature de cet ensemble ? Le représenter.

[oraux/ex1782] mines PC 2005 Dans l’espace affine euclidien \(\mathbf{R}^3\), trouver le lieu des points équidistants d’une droite et d’un plan.

[oraux/ex1879] mines MP 2010

1. Reconnaître la quadrique \(Q\) d’équation \(x^2+y^2-z^2=1\).

2. Déterminer les droites tracées sur \(Q\).

[oraux/ex4399] centrale PC 2011 Soient, pour \(a\in\mathbf{R}\), \(S_a=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^2,\ xy+xz+yz=a\}\) et, pour \(\lambda\in\mathbf{R}\), \(\Pi_\lambda=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\ x+y+z=\lambda\}\).

1. Déterminer \(\Pi_\lambda\cap S_a\). Déterminer la distance de \(O\) à \(\Pi_\lambda\).

2. Montrer que \(S_a\) est une surface de révolution d’axe à préciser. Donner son équation dans une base orthonormée bien choisie.

3. Montrer que \(S_0\) est réunion de droites.

4. Si \(a\neq0\), montrer que \(S_a\) se déduit de \(S_{-1}\) ou de \(S_{-1}\) par une homothétie.

[oraux/ex5883] ccp PSI 2012 On considère la surface \((S)\) d’équation \(x^2+y^2-z^2=1\).

1. Montrer qu’il n’existe pas de droite parallèle à \((xOy)\) incluse dans \((S)\).

2. Soit \((D)\) la droite définie par \(x=az+b\) et \(y=cz+d\). Montrer que \((D)\) est incluse dans \((S)\) si, et seulement si, \(\left(\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right)\) appartient à \({\cal O}_2(\mathbf{R})\).

3. Montrer que par tout point de \((S)\) passent deux droites incluses dans \((S)\).