Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex1868] centrale PSI 2009 Dans \(\mathbf{R}^3\), soient \(\mathscr{H}\) d’équation \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}-{z^2\over c^2}=1\) et \(\mathscr{C}\) d’équation \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}-{z^2\over c^2}=0\).

1. Déterminer la nature de \(\mathscr{H}\) et de \(\mathscr{C}\).

2. Soit \(P_0\) un plan tel que \(P_0\cap\mathscr{C}\) est une ellipse. Si \(P\) est un plan parallèle à \(P_0\), montrer que \(\mathscr{P}\cap\mathscr{H}\) est une ellipse.

[oraux/ex3950] mines MP 2011 Donner les éléments de la quadrique d’équation : \[13x^2+10y^2+5z^2-4xy-6xz-12yz-14=0.\]

[oraux/ex5780] centrale PC 2012 Pour \(b\in \mathbf{R}\), on considère \((S) : 2x^2+y^2-4xy-4yz=b\). Déterminer la nature de \((S)\) en fonction de \(b\). Déterminer la nature de l’intersection de \((S)\) avec le plan \(z=0\).

[oraux/ex9442] mines PC 2013 Soient \(a>0\) et \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(x^2+a^2=ax\). Déterminer la nature de \(\mathscr{S}\). Donner une condition sur \(a\) pour qu’il existe un point de \(\mathscr{S}\) en lequel le plan tangent est orthogonal à \((1,0,1)\).

[concours/ex2627] tpe, int, ivp M 1995 Soit la surface \(\mathscr{S}\) : \((x+y+z)^2=4yz\) ; angle des plans tangents à \(\mathscr{S}\) incluant la droite : \(\left\{x+2y=0;\ x-z=0\right\}\).