Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex1848] centrale MP 2008 Soit, dans \(\mathbf{R}^3\), \(H_1\) d’équation \(x^2-yz=1\) et \(H_2\) d’équation \(6x^2-y^2+11z^2=1\). Déterminer les droites tracées sur \(H_1\) et tangentes à \(H_2\).

[oraux/ex1823] PSI 2006 Trouver les plans de \(\mathbf{R}^3\) tangents à la surface d’équation \(x^2+y^2+4z^2=1\) et parallèles au plan d’équation \(x+2y+z=0\).

[fct.R2/ex0999] Représenter l’ensemble des points de l’espace dont les coordonnées vérifient : \[x^2+y^2<z<x+y.\]

[oraux/ex1765] centrale 2004 Soit des réels \(a\), \(b\), \(c\) tels que \(0<c<b<a\). Pour tout \(\lambda\) réel autre que \(-a\), \(-b\), \(-c\), on note \(Q_\lambda\) la surface d’équation \(\displaystyle{x^2\over\lambda+a}+{y^2\over\lambda+b}+{z^2\over\lambda+c}=0\).

1. Étudier, selon \(\lambda\), la nature de \(Q_\lambda\).

2. Soit \(M\in\mathbf{R}^3\) un point dont aucune coordonnée n’est nulle. Montrer qu’il existe exactement trois réels \(\lambda\) tels que \(M\in Q_\lambda\).

3. Montrer que les plans tangents en \(M\) aux trois surfaces \(Q_\lambda\) passant par \(M\) sont deux à deux perpendiculaires.

[oraux/ex1892] centrale PC 2010 (avec Maple)

Soient \(f:(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\mapsto2x^2+y^2+2z^2+2xy+2yz+2xz\) et \(g:(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\setminus\{(0,0,0)\}\mapsto\displaystyle{f(x,y,z)\over x^2+y^2+z^2}\).

1. Représenter la surface d’équation \(f(x,y,z)=1\). Déterminer son type.

2. Montrer que \(g\) admet un minimum et un maximum. Déterminer les points en lesquels ils sont atteints et les valeurs de ces extrema.

3. Soit \(u\in\mathscr{S}(\mathbf{R}^3)\) de valeurs propres \((\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)\). Montrer : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(\lambda_1\|x\|^2\leqslant\langle u(x),x\rangle\leqslant\lambda_3\|x\|^2\). Interpréter le résultat de la question précédente.