Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex0993] hec S 2024 On considère la matrice : \[A=\pmatrix{-4&-3&-3\cr0&2&0\cr6&3&5}.\] On note \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) représenté dans la base canonique par la matrice \(A\).

1. Question de cours : caractérisation des endomorphismes diagonalisables à l’aide des dimensions des sous-espaces propres.

2. 1. Écrire une fonction Python prenant en argument deux vecteurs de taille 3 et renvoyant un booléen (True ou False) indiquant s’ils sont colinéaires. On pourra représenter les vecteurs par des types array.

   2. Écrire une fonction Python prenant en argument un vecteur de taille 3 et renvoyant un booléen indiquant s’il est vecteur propre de \(A\).

3. 1. Vérifier que les vecteurs \((-1,2,0)\), \((0,1,-1)\) et \((1,0,-1)\) sont des vecteurs propres de \(f\).

   2. L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?

4. 1. Écrire un programme Python permettant de déterminer le nombre de vecteurs propres de \(A\) dont les coefficients sont des entiers compris entre \(-10\) et 10 (bornes incluses).

   2. Pour \(N\) un entier naturel non nul, calculer le nombre de vecteurs propres de \(A\) dont les coefficients sont des entiers compris entre \(-N\) et \(N\) (bornes incluses).

5. Soit \(N\) un entier naturel non nul. Une expérience consiste à choisir au hasard de manière indépendante \(N\) vecteurs à coefficients entiers dans \([[-N,N]]^3\).

   1. Quelle est la probabilité \(p_N\) d’obtenir au moins un vecteur propre de \(A\) parmi ces \(N\) vecteurs ?

   2. Quelle est la limite de \(p_N\) lorsque \(N\) tend vers \(+\infty\) ?

[planches/ex3731] mines PC 2018 Soit \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{K})\). On suppose que \(\lambda\in\mathbf{K}\) est une valeur propre de multiplicité 3.

1. Montrer que \(E_\lambda(A)\) est de dimension 1 si et seulement si la matrice \((\lambda I_3-A)\) est nilpotente d’indice 3.

2. Montrer que sous ces conditions \(A\) est semblable à \(\pmatrix{\lambda&1&0\cr0&\lambda&1\cr0&0&\lambda}\).

[ev.algebre/ex2210] Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&2&6\\ -1&0&2\\1&2&2\end{array}\right)\).

1. Diagonaliser \(A\).

2. En déduire, pour tout \(n\in\mathbf{N}\), une expression de \(A^n\) en fonction de \(n\).

[concours/ex2932] ccp M 1994 La matrice \(\left(\begin{array}{ccc} 2&0&-2\\3&-3&0\\8&-6&2\end{array}\right)\) est-elle trigonalisable ?

[planches/ex3426] mines MP 2018 Soit \(\mathbf{K}=\mathbf{R}\) ou \(\mathbf{C}\). Étudier le caractère diagonalisable de \[M=\pmatrix{0&a&b\cr-1/a&0&c\cr-1/b&-1/c&0}\] pour \((a,b,c)\in(\mathbf{K}^*)^3\).