Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex9897] ccp PC 2009 Soit \(J=\left(\begin{array}{ccc}-1&0&-2\\1&1&1\\1&0&2\end{array}\right)\).

1. Calculer \(J^2\). La matrice \(J\) est-elle inversible ? Montrer que \(J\) est diagonalisable et déterminer ses valeurs propres.

2. Soit \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) et \(M(a,b)=aI_3+bJ\). Montrer que \(M(a,b)\) est diagonalisable et déterminer ses valeurs propres. À quelle condition est-elle inversible ?

3. Si \(x\in\mathbf{R}\), on pose \(F(x)=I_3+(-1+e^x)J\) et \(G(x)=I_3-(1+e^x)J\). Calculer \(F(x)F(y)\) et \(G(x)G(y)\) pour \((x,y)\in\mathbf{R}^2\). En déduire que \(F(x)\) et \(G(x)\) sont inversibles et déterminer leurs inverses.

[oraux/ex7493] mines alès MP 2013 Soit \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\), de trace nulle, de rang 2 et telle que \(A^3\neq0\). Étudier la diagonalisabilité de \(A\).

[concours/ex2932] ccp M 1994 La matrice \(\left(\begin{array}{ccc} 2&0&-2\\3&-3&0\\8&-6&2\end{array}\right)\) est-elle trigonalisable ?

[concours/ex9614] centrale PC 2006 Soit \(M(a,b,c)\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) définie par : \(M(a,b,c)=\left(\begin{array}{ccc}a&c&b\\b&a+c&b+c\\c&b&a+c\end{array}\right)\). La matrice \(M(a,b,c)\) est-elle diagonalisable ? On pourra introduire \(M(0,1,0)\).

[oraux/ex7783] mines PC 2016 Soit \(M(\alpha)=\pmatrix{0&0&\alpha\cr1&0&1\cr0&1&0}\) pour \(\alpha\in\mathbf{C}\). Déterminer les valeurs de \(\alpha\) pour lesquelles \(M(\alpha)\) possède une valeur propre de module 1.