Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex8349] mines PC 2022 Soit \(a\in\mathbf{R}\). Déterminer les valeurs propres de \(M=\pmatrix{1-a&0&a\cr0&a&1-a\cr a&1-a&0}\).

[ev.algebre/ex2181] Soit \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension 3, \(u\in\mathscr{L}(E)\), représenté par sa matrice \(A\) dans une base de \(E\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 3&4&-1\\ -1&1&1\\0&3&2 \end{array}\right).\] Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(u\).

[examen/ex3547] mines PSI 2025 Soit \(A=\pmatrix{0&-3&5\cr-1&-2&5\cr-1&-3&6}\).

1. Déterminer les valeurs propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer que, pour tout \(n\in\mathbf{N}\), il existe des réels \(a_n\) et \(b_n\) tels que \(A^n=a_nI_3+b_nA\).

3. La matrice \(A\) est-elle inversible ? Le résultat de la question précédente reste-t-il valable pour tout \(n\in\mathbf{Z}\) ?

4. Existe-t-il \((\alpha,\beta)\in\mathbf{R}^2\) tel que \(M=\alpha I_3+\beta A\) et \(M^2=A\) ?

[ev.algebre/ex2186] La matrice \(A=\displaystyle\left(\begin{array}{ccc} 1&0&2\\0&2&0\\2&0&1 \end{array}\right)\) est-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.

[ev.algebre/ex2183] Soit \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension 3, \(u\in\mathscr{L}(E)\), représenté par sa matrice \(A\) dans une base de \(E\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&2\\0&2&0\\2&0&1 \end{array}\right).\] Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(u\).