Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex4246] centrale PSI 2011 Soit \((A,B)\in\mathscr{M}_{3,1}(\mathbf{R})\) et \(U=A{}^tB+B{}^tA\). Déterminer les éléments propres de \(U\).

[ev.algebre/ex2186] La matrice \(A=\displaystyle\left(\begin{array}{ccc} 1&0&2\\0&2&0\\2&0&1 \end{array}\right)\) est-elle diagonalisable ? Si oui, la diagonaliser.

[ev.algebre/ex2182] Soit \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension 3, \(u\in\mathscr{L}(E)\), représenté par sa matrice \(A\) dans une base de \(E\) : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 1&-2&-2\\ -1&1&-1\\ -1&0&2 \end{array}\right).\] Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(u\).

[planches/ex8349] mines PC 2022 Soit \(a\in\mathbf{R}\). Déterminer les valeurs propres de \(M=\pmatrix{1-a&0&a\cr0&a&1-a\cr a&1-a&0}\).

[concours/ex4807] escp S 2002 Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) défini par : \[f(x,y,z)=(x,0,y).\]

1. Déterminer le noyau et l’image de \(f\).

2. Soit \(E=\{(x,y,0)\mid (x,y)\in \mathbf{R}^2\}\). Déterminer \(f(E)\) et \(f^{-1}(E)\).

3. L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?