Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex4138] imt PSI 2025 Soit \(A=\pmatrix{1&a&b\cr0&1&c\cr0&0&-1}\).

1. Calculer le spectre de \(A\) et son polynôme caractéristique.

2. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur \(a\), \(b\), \(c\), pour que \(A\) soit diagonalisable.

[planches/ex7387] imt PC 2021 Soit \(a>0\). On pose \(A=\pmatrix{0&a&a^2\cr1&0&1\cr1/a&1/a^2&0}\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Calculer ses espaces propres.

[planches/ex3731] mines PC 2018 Soit \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{K})\). On suppose que \(\lambda\in\mathbf{K}\) est une valeur propre de multiplicité 3.

1. Montrer que \(E_\lambda(A)\) est de dimension 1 si et seulement si la matrice \((\lambda I_3-A)\) est nilpotente d’indice 3.

2. Montrer que sous ces conditions \(A\) est semblable à \(\pmatrix{\lambda&1&0\cr0&\lambda&1\cr0&0&\lambda}\).

[concours/ex9540] centrale MP 2005 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&2\end{array}\right)\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Montrer que \(A\) est semblable à \(\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)\).

3. Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{N}\).

[examen/ex2182] mines PC 2024 Soit \(Z\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{Z}\) telle que \(|Z|+1\sim\mathscr{G}(p)\) et telle que \(\forall n\in\mathbf{Z}\), \(\mathbf{P}(Z=n)=\mathbf{P}(Z=-n)\). Soit \(A=\pmatrix{0&Z&Z\cr Z&0&1\cr 1&1&0}\).

1. Déterminer la loi du rang de \(A\).

2. Déterminer la probabilité pour que \(A\) soit diagonalisable.