Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex6668] escp S 2008 Soit \(a\) un réel non nul. Soit \(A\) la matrice de \({\cal M}_3(\mathbb{R})\) définie par : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & a\cr a & a & a\cr a & 0 & 0 \end{array}\right)\]

1. Déterminer les éléments propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. On considère l’équation d’inconnue \(X\), \((\star)\) : \(X^n=A\), où \(n\) est un entier supérieur ou égal à \(2\) et \(X\) un élément de \({\cal M}_3(\mathbb{R})\).

   1. Soit \(X\) une solution éventuelle de \((\star)\).

      1. Montrer que \(XA=AX\).

      2. En déduire que tout vecteur propre de \(A\) est vecteur propre de \(X\).

   2. Montrer que \((\star)\) n’a pas de solution lorsque \(n\) est un entier pair.

3. Soit \(n\) un entier impair et \((e_1,e_2,e_3)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^3\).

   1. Montrer que \({\cal B}=(e_1, e_2, e_1-e_3)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\).

   2. Soit \(X\) une solution de \((\star)\) et \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) canoniquement associé à \(X\). Montrer qu’il existe \((\alpha, \beta, \gamma)\) tels que la matrice associée à \(u\) relativement à la base \({\cal B}\), soit : \[\left(\begin{array}{ccc} \alpha & 0 & 0 \cr \gamma & \alpha & 0\cr {\beta-\alpha\over 2} & 0 & \beta \end{array}\right)\]

   3. Résoudre l’équation \((\star)\) lorsque \(n\) est un entier impair.

[planches/ex5583] imt PSI 2019 Soient \(u\), \(v\), \(w\) trois suites vérifiant, pour tout \(n\in\mathbf{N}\), \[u_{n+1}=4u_n-3v_n-3w_n,\quad v_{n+1}=3u_n-2v_n-3w_n,\quad w_{n+1}=3u_n-3v_n-2w_n.\] Exprimer \(u_n\), \(v_n\), \(w_n\) en fonction de \(n\), \(u_0\), \(v_0\), \(w_0\).

[concours/ex9621] ccp MP 2006 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}3&-2&-2\\ -1&0&1\\1&1&0\end{array}\right)\). Trigonaliser \(A\) en précisant une matrice de passage.

[concours/ex4076] mines M 1990 Résoudre \(AX=B\) avec \[A=\left[\begin{array}{ccc} 2&1&0\\ -3&-1&1\\1&0&-1\end{array}\right]\quad\hbox{et}\quad B=\left[\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ -2&-2&-2\\1&1&1\end{array}\right].\] Trigonaliser \(A\).

[oraux/ex6832] hec B/L 2016 Soit \(E=\mathbf{R}_2[X]\) l”espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2.

On note \(\mathscr{B}=(1,X,X^2)\) la base canonique de \(E\) et \(\mathscr{C}=\left(\vphantom{|_|}(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\right)\) la base canonique de \(\mathbf{R}^3\).

On pose : \(Q_0=-X^2+1\), \(Q_1=\displaystyle{1\over2}(X^2+X)\) et \(Q_3=\displaystyle{1\over2}(X^2-X)\).

1. Question de cours : Valeur propre et vecteur propre d’un endomorphisme.

2. 1. Montrer que \(\mathscr{V}=(Q_0,Q_1,Q_2)\) est une base de \(E\). Donner la matrice de passage \(A\) de \(\mathscr{B}\) vers \(\mathscr{V}\).

   2. Soit \(\Phi\) l’application de \(E\) dans \(\mathbf{R}^3\) définie par : pour tout \(P\in E\), \(\Phi(P)=\left(\vphantom{|_|}P(0),P(1),P(-1)\right)\). Montrer que \(\Phi\) est linéaire et bijective.

   3. Déterminer la matrice \(A^{-1}\).

3. Soit \(\theta\) l’application de \(\mathbf{R}^3\) dans \(E\) définie par : \(\theta(a,b,c)=a+bX+cX^2\).

   1. Montrer que \(\theta\) est une application linéaire bijective.

   2. Donner la matrice de \(\theta\) lorsque \(\mathbf{R}^3\) est muni de sa base canonique \(\mathscr{C}\) et \(E\) de la base \(\mathscr{V}\).

4. On pose : \(\Psi=\Phi\mathbin{\circ}\theta\).

   1. Justifier que \(\Psi\) est un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) et donner sa matrice dans la base canonique \(\mathscr{C}\).

   2. Montrer que 1 est valeur propre de \(\Psi\) et donner un vecteur propre associé.