Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex8980] navale PC 2022 Soit \((a_1,a_2,a_3)\in\mathbf{C}^3\) tel que \((a_1,a_2)\neq(0,0)\). Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{C}^3\) dont la matrice dans la base canonique est \(\pmatrix{0&0&a_1\cr0&0&a_2\cr a_1&a_2&a_3}\).

1. Calculer le noyau de \(f\).

2. Montrer que le polynôme caractéristique de \(f\) vaut \(\chi_f=X(X^2-a_3X-(a_1^2+a_2^2))\).

3. On suppose que \(a_1^2+a_2^2\neq0\) et \(4a_3^2+a_1^2+a_2^2\neq0\). Montrer que \(A\) est diagonalisable et calculer ses sous-espaces propres.

4. On suppose que \(a_1^2+a_2^2=0\). Montrer que \(A\) n’est pas diagonalisable.

[oraux/ex7702] ensam PSI 2015 Soit \(A=\pmatrix{a&b&b\cr b&a&b\cr b&b&a}\), avec \(a\) et \(b\in\mathbf{C}\). Étudier la diagonalisabilité de \(A\), déterminer ses sous-espaces propres.

[oraux/ex7486] ccp MP 2013 Soient \(k\in\mathbf{R}\) et \[f:(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\mapsto(kx+y+z,x+ky+z,x+y+kz).\]

1. Calculer le polynôme caractéristique de \(f\).

2. Déterminer le rang de \(f\) suivant \(k\).

3. Déterminer les sous-espaces propres de \(f^n\), avec \(n\in\mathbf{N}\).

[planches/ex8984] ccinp PC 2022 Soit \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) tel que \(a^2+b^2+c^2=1\) et \(M=\pmatrix{a^2&ba&ac\cr ab&b^2&bc\cr ac&bc&c^2}\).

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{rg}}{\hbox{rg}}{\mathrm{rg}}{\mathrm{rg}}}\nolimits(M)=1\).

2. Déterminer le spectre de \(M\). La matrice \(M\) est-elle diagonalisable ?

3. Déterminer les espaces propres de \(M\).

[oraux/ex7475] centrale PC 2013 Soient \((x,y,z)\in\mathbf{C}^3\setminus\{(0,0,0)\}\) et \(M=\pmatrix{x^2&xy&xz\cr xy&y^2&yz\cr xz&yz&z^2}\).

1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que \(M\) soit diagonalisable.

2. Si \(M\) n’est pas diagonalisable, montrer que \(M\) est semblable à la matrice \((a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant 3}\) de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) où \(a_{1,3}=1\), les autres coefficients étant nuls.

3. Calculer \(M^p\) pour \(p\in\mathbf{N}\).

[oraux/ex8602] ensea PSI 2016 Soient \((x,y,z)\in\mathbf{C}^3\setminus\{0\}\) et \[M=\pmatrix{x^2&xy&xz\cr xy&y^2&yz\cr xz&yz&z^2}.\]

1. Montrer qu’il existe \(C\in\mathscr{M}_{3,1}(\mathbf{C})\) tel que \(M=CC^T\).

2. Déterminer le rang de \(M\).

3. Montrer que \(M\) est semblable à une matrice de la forme \(N=\pmatrix{a&0&0\cr b&0&0\cr c&0&0}\) avec \((a,b,c)\neq(0,0,0)\). Expliciter \(a\) en fonction de \(x\), \(y\) et \(z\).

4. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que \(M\) soit diagonalisable.

[ev.algebre/ex2147] Diagonaliser la matrice \(M\) de l’endomorphisme \(f\) : \[M=\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right).\]

[concours/ex0009] polytechnique MP 1996 Diagonaliser \[\left(\begin{array}{ccc}m&1&1\\1&m&1\\1&1&m\end{array}\right)\,.\]

[concours/ex1733] polytechnique PC 1999 Soit \(M=\left(\begin{array}{ccc} 0&a&a^2\\1/a&0&a\\1/a^2&1/a&0\end{array}\right)\). Calculer \(M^k\).

[concours/ex1422] centrale MP 1998 Pour \(z\in\mathbf{C}\), on pose \(M(z)=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&z\\1&1&0\\1&1&1\end{array}\right)\).

1. Montrer que \(M\) admet une valeur propre \(\lambda\) telle que \(|\lambda|\geqslant 1\).

2. Montrer que \(M(z)\) est diagonalisable si et seulement si \(z\neq0\) et \(z\neq\displaystyle{27\over4}\).

3. Ensemble des \(z\) tels que \(M(z)\) admette une valeur propre de module \(1\).

[concours/ex9834] mines PC 2009 Soit, pour \(z\in\mathbf{C}\), \(M_z=\left(\begin{array}{ccc}0&0&z\\1&0&0\\1&1&0\end{array}\right)\). Montrer que \(M_z\) est diagonalisable sauf pour deux valeurs de \(z\).

[concours/ex4483] escp B/L 2006 Soit \(a\) un réel non nul. On pose : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & a & a^2 \\ 1/a & 0 & a\\ 1/a^2 & 1/a & 0\end{array}\right).\]

1. Calculer \((A+I)(A-2I)\), où \(I\) représente la matrice identité d’ordre \(3\).

2. En déduire les valeurs propres possibles de \(A\). La matrice \(A\) est-elle inversible ?

3. Montrer que \(A\) est diagonalisable et déterminer une matrice \(D\) diagonale, une matrice \(P\) inversible, telles que \(A= PDP^{-1}\).

[concours/ex6722] escp B/L 2008 Soit \(a\) un réel non nul, et \(A\) la matrice définie par : \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&a&a^2\\ 1/a&0&a\\ {1}/{a^2}&1/a&0\end{array}\right)\)

1. Calculer \(A^2\).

2. Trouver un polynôme \(P\) unitaire et de degré \(2\) annulateur de \(A\), c’est-à-dire un polynôme \(P\) de la forme \(X^2+\alpha X +\beta\) tel que \(A^2+\alpha A+\beta I=0\), où \(I\) désigne la matrice identité de \({\cal M}_3(\mathbb{R})\).

3. Montrer que la matrice \(A\) est inversible. Donner son inverse.

4. Déterminer une expression de \(A^n\) pour \(n\in\mathbb{N}\) en fonction de la matrice identité \(I\) et de la matrice \(A\).

5. 1. Quelles sont les valeurs propres possibles de \(A\) ?

   2. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

[oraux/ex4556] ccp PC 2011 Soient \(a\in\mathbf{R}^*\) et \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&1/a&1/a^2\\a&1&1/a\\a^2&a&1\end{array}\right)\). Déterminer le rang de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

[planches/ex8333] mines PC 2022 Soit \((a,\alpha)\in\mathbf{R}^2\). On pose \(M=\pmatrix{0&a&a^2\cr a^{-1}&0&a\cr a^{-2}&a^{-1}&0}\) et \(B_\alpha=\pmatrix{\alpha&a&a^2\cr a^{-1}&\alpha&a\cr a^{-2}&a^{-1}&\alpha}\).

1. Calculer \(M^2\). En déduire que \(M\) est inversible et calculer \(M^{-1}\).

2. Calculer \(M^n\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).

3. Déterminer si \(M\) est diagonalisable, et calculer les éléments propres de \(M\).

4. Déterminer si \(B_\alpha\) est diagonalisable, et calculer les éléments propres de \(B_\alpha\).

[concours/ex5596] mines MP 2007 Soit \(a\in\mathbf{R}_+^*\). La matrice \(\pmatrix{0&a&a^2\cr1/a&0&a\cr1/a^2&1/a&0}\) est-elle diagonalisable ?

[examen/ex1912] mines PSI 2024 On munit \(\mathbf{R}^3\) de sa structure euclidienne canonique. Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique est \(\displaystyle\frac{1}{3}\pmatrix{2&2&-1\cr-1&2&2\cr2&-1&2}\). Déterminer sa nature et ses valeurs propres.

[examen/ex0353] hec E 2023 Soit \(m\) un réel strictement positif et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice \(M\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\) est : \[M=\pmatrix{0&1/m&1/m^2\cr m&0&1/m\cr m^2&m&0}.\] On note \(I\) la matrice identité de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) et \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) l’endomorphisme identité de \(\mathbf{R}^3\). Pour tout endomorphisme \(g\) de \(\mathbf{R}^3\) on pose \(g^0=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) et pour tout \(k\) appartenant à \(\mathbf{N}^*\), \(g^k=g\mathbin{\circ} g^{k-1}\).

1. Question de cours : critère de diagonalisabilité d’une matrice selon les sous-espaces propres.

2. 1. Montrer que la matrice \(M^2\) est une combinaison linéaire de \(M\) et de \(I\). En déduire un polynôme annulateur non nul de \(M\).

   2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(M\). La matrice \(M\) est-elle diagonalisable ?

3. Soient \(p\) et \(q\) les endomorphismes de \(\mathbf{R}^3\) définis par \(p=\displaystyle{1\over3}(f+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\) et \(q=-\displaystyle{1\over3}(f-2\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\).

   1. Calculer \(p\mathbin{\circ} q\) et \(q\mathbin{\circ} p\), puis pour tout \(n\) appartenant à \(\mathbf{N}\), \(p^n\) et \(q^n\).

   2. En déduire pour tout entier naturel \(n\), l’expression de \(f^n\) en fonction de \(p\) et \(q\).

   3. Déterminer deux suites réelles \((a_n)\) et \((b_n)\) telles que pour tout \(n\) appartenant à \(\mathbf{N}\), \(M^n=a_nI+b_nM\).

   4. Cette dernière formule reste-t-elle valable si \(n\) appartient à \(\mathbf{Z}\) ?

[concours/ex4897] escp S 2001 Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\) est : \[A=\left(\begin{array}{ccc}1&2&1\\ 2&1&1\\ 0&0&3\end{array}\right).\]

1. Soit \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\), \((a,b,c)\neq (0,0,0)\). Montrer que \[P=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3 /\ ax+by+cz=0\}\] est un sous-espace vectoriel de dimension \(2\) (appelé aussi plan vectoriel) de \(\mathbf{R}^3\).

2. Soient \(P\) d’équation \(ax+by+cz=0\) et \(Q\) d’équation \(ux+vy+wz=0\) deux tels plans.

   Montrer que \(P= Q\) si et seulement s’il existe \(\lambda \in\mathbf{R}^*\) tel que \((u,v,w)=\lambda(a,b,c)\).

3. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(f\).

4. Un sous-espace vectoriel \(F\) de \(\mathbf{R}^3\) est dit stable par \(f\) si \(f(F)\subset F\).

   Déterminer les sous-espaces vectoriels de \(\mathbf{R}^3\) stables par \(f\).

[oraux/ex4036] mines PC 2011 Soit \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\). On suppose que \(-1\) et 1 sont des valeurs propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

[oraux/ex4815] hec courts S 2012 Soit \(a\), \(b\) et \(c\) des réels non nuls vérifiant \(a^2+b^2+c^2=1\). On pose \(U=\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)\).

1. 1. Calculer \(M=U{}^tU\).

   2. \(M\) est-elle diagonalisable ?

   3. \(M\) est-elle inversible ?

2. Calculer \(M^n\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).

3. Donner les valeurs propres de \(M\) et les sous-espaces propres associés.

[concours/ex9788] polytechnique PC 2009

1. La matrice \(J=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{array}\right)\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbf{R}\) ? sur \(\mathbf{C}\) ?

2. La matrice \(M=\left(\begin{array}{ccc}a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\end{array}\right)\) avec \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbf{R}\) ?

[concours/ex9454] mines 2004 Soient \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) et \(M=\left(\begin{array}{ccc}a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\end{array}\right)\).

1. Montrer que \(M\) est diagonalisable sur \(\mathbf{C}\).

2. La matrice \(M\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbf{R}\) ?

[oraux/ex7782] mines PC 2016 Déterminer les \(z\in\mathbf{C}\) pour lesquels la matrice \(\pmatrix{0&0&z\cr1&0&0\cr1&1&0}\) est diagonalisable.

[examen/ex2619] imt PC 2024 Soient \(A=\pmatrix{a&b&c\cr c&a&b\cr b&c&a}\) et \(J=\pmatrix{0&1&0\cr0&0&1\cr1&0&0}\) avec \((a,b,c)\in\mathbf{C}^3\).

1. Exprimer \(A\) en fonction de \(I\), \(J\) et \(J^2\).

2. Déterminer le polynôme caractéristique de \(J\). La matrice \(J\) est-elle diagonalisable ?

3. Diagonaliser \(A\).

[oraux/ex7625] ccp PSI 2014 Soit \(J=\pmatrix{0&1&0\cr1&0&1\cr0&1&0}\) et \(K=\pmatrix{0&0&1\cr0&1&0\cr1&0&0}\). Montrer que \(J\) et \(K\) sont diagonalisables dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) et déterminer leurs éléments propres. Diagonaliser \(\pmatrix{a&b&c\cr b&a+c&b\cr c&b&a}\).

[planches/ex6961] mines PC 2021 Soient \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\). Déterminer les éléments propres de \(\pmatrix{a&b&c\cr b&a+c&b\cr c&b&a}\).

[planches/ex5684] imt PC 2019 Soit \(J=\pmatrix{0&1&0\cr0&0&1\cr1&0&0}\). Pour \((a,b,c)\in\mathbf{C}^3\), on pose \(M(a,b,c)=aI_3+bJ+cJ^2\).

1. Montrer que les matrices \(M(a,b,c)\), pour \((a,b,c)\in\mathbf{C}^3\), commutent entre elles.

2. Montrer que \(J\) est diagonalisable. Préciser ses éléments propres.

3. Soit \((a,b,c)\in\mathbf{C}^3\). Montrer que \(M(a,b,c)\) est diagonalisable et déterminer ses éléments propres.

[concours/ex0990] ccp MP 1997 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}a&c&b\\c&a+b&c\\b&c&a \end{array}\right)\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\). Calculer \(A^n\) pour \(n\in\mathbf{Z}\).

[concours/ex5595] mines MP 2007 Soit \(j=e^{2i\pi/3}\). La matrice \(\left(\begin{array}{ccc}1&j&j^2\\j&j^2&1\\j^2&1&j\end{array}\right)\) est-elle diagonalisable ?

[planches/ex4066] ccp PSI 2018

1. Diagonaliser \(K=\pmatrix{0&1&0\cr1&0&1\cr0&1&0}\).

2. Écrire \(M=\pmatrix{a&c&b\cr c&a+b&c\cr b&c&a}\) à l’aide de puissances de \(K\).

3. Diagonaliser \(M\) et calculer \(M^n\).

[concours/ex9563] centrale PC 2005 Soit \(M=\left(\begin{array}{ccc}a&c&b\\c&a+b&c\\b&c&a\end{array} \right)\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).

1. Montrer que \(M\) est diagonalisable.

2. Trouver \(\alpha\in\mathbf{R}\) et \(J\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) tels que \(M=\alpha I_3+cJ+bJ^2\).

3. Trouver les éléments propres de \(M\).

[ev.algebre/ex2146] Diagonaliser (si possible) la matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{array}\right)\).

[oraux/ex8603] PSI 2016 Soient \((a,b,c)\in\mathbf{C}^3\), \(M=\pmatrix{a&c&b\cr c&a+b&c\cr b&c&a}\) et \(K=\pmatrix{0&1&0\cr1&0&1\cr0&1&0}\).

1. Diagonaliser \(K\).

2. Exprimer \(M\) à l’aide des puissances de \(K\).

3. Montrer que \(M\) est diagonalisable.

[concours/ex9755] ensiie PSI 2008 Soient \(a\in\mathbf{R}\setminus\pi\mathbf{Z}\) et \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits a&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2a\\\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits a&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2a\\\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2a&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits a&0\end{array}\right)\).

1. Donner les valeurs propres de \(A\).

2. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? La diagonaliser quand c’est possible.

[concours/ex0909] centrale MP 1997 Soit \(M(\theta)=\left(\begin{array}{ccc} 0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\theta\\ \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\theta\\ \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\theta&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta&0\end{array}\right)\). La matrice est-elle diagonalisable ?

[ev.algebre/ex2191] Soit \(a\), \(b\), \(c\) trois nombres réels. On considère l’endomorphisme \(u\) de \(\mathbf{R}^3\), muni de la base \(\mathscr{B}=\{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}\), dont la matrice dans \(\mathscr{B}\) est : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&c\\0&b&0\\a&0&0\end{array}\right).\]

1. Montrer que \(\lambda\) est une valeur propre de \(u\) si et seulement si : \[(\lambda-b)(\lambda^2-ac)=0.\]

2. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(u\), en distinguant \(b^2\neq ac\) et \(b^2=ac\).

3. A quelles conditions sur \(a\), \(b\), \(c\), \(u\) est-il diagonalisable ?

[concours/ex0500] tpe, int, ivp MP 1996 La matrice \[\left(\begin{array}{ccc}0&0&c\\0&b&0\\a&0&0\end{array}\right)\] de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) est-elle diagonalisable ?

[concours/ex6683] escp S 2008 Soit \(a,b,c\) trois réels et \(M\) la matrice de \({\cal M}_3(\mathbb{R})\) définie par : \[M=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & c\\ 0 & b & 0\\ a & 0 & 0\end{array}\right)\] On note \({\cal C}(M)=\{ X\in {\cal M}_3(\mathbb{R}) \mid XM=MX \}\).

1. Montrer que \({\cal C}(M)\) est un sous-espace vectoriel de \({\cal M}_3(\mathbb{R})\).

2. On suppose dans cette question que \(ac>0\).

   Déterminer les éléments propres de \(M\). En déduire que \(M\) est diagonalisable.

   On suppose désormais que \(ac>0\) et \(b^2\neq ac\).

3. 1. Soit \(X\) un élément de \({\cal C}(M)\). Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(M\) et \(u\) un vecteur propre associé. Montrer qu’il existe un réel \(\alpha\) tel que \(Xu=\alpha u\).

   2. En déduire que \(X\) est diagonalisable.

4. 1. Déterminer la dimension de \({\cal C}(M)\).

   2. Donner une base de \({\cal C}(M)\), lorsque \(a=c\). L’espace vectoriel \({\cal C}(M)\) est-il alors constitué de matrices symétriques ?

[concours/ex9741] centrale PC 2008

1. Soit \(M=\left(\begin{array}{ccc}0&a&2ab\\a&0&2ab\\2ab&a&0\end{array}\right)\) où \((a,b)\in\mathbf{R}^2\). Déterminer (avec Maple) les valeurs propres et les sous-espaces propres en fonction de \(a\) et \(b\).

2. On pose \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\theta\\\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\theta\\ \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\theta&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta&0\end{array}\right)\). Réduire \(A\). Lorsque \(\theta=\pi/3\), calculer \(A^n\).

[planches/ex8986] ccinp PC 2022 Soit \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) et \(M=\pmatrix{0&0&c^2\cr0&b^2&0\cr a^2&0&0}\). Déterminer les valeurs propres de \(M\) en fonction de \(a\), \(b\) et \(c\).

[oraux/ex6133] escp courts 2013 Soient \(a\), \(b\), \(c\) trois réels non nuls, et \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&c^2\\0&b^2&0\\a^2&0&0\end{array}\right)\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\). Étudier la diagonalisabilité de la matrice \(A\).

[oraux/ex5888] ccp PC 2012 Étudier la diagonalisabilité de \(\left(\begin{array}{ccc}0&0&c^2\\0&b^2&0\\a^2&0&0\end{array}\right)\) où \(a,b,c\in \mathbf{R}\).

[planches/ex2800] ccp PC 2017 Soient \[M(a,b,c)=\pmatrix{a&b&c\cr c&a&b\cr b&c&a}\quad\hbox{et}\quad E=\{M(a,b,c),\ (a,b,c) \in\mathbf{R}^3\}.\]

1. On note \(J=M(0,1,0)\). Calculer \(J^2\). Exprimer \(M(a,b,c)\) en fonction de \(I_3\), \(J\), \(J_2\).

2. L’ensemble \(E\) est-il un sous-espace vectoriel de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) ? Si oui, quelle est sa dimension ? Est-il stable par produit ?

3. La matrice \(J\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbf{C}\) ? Donner ses valeurs propres en fonction de \(j=e^{2i\pi/3}\), ainsi que les vecteurs propres associés.

4. La matrice \(M\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbf{C}\) ?

5. Montrer que \(M\) est diagonalisable sur \(\mathbf{R}\) si et seulement si \(b=c\).

6. On note \(f_{a,b,c}\) l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice \(M(a,b,c)\). À quelles conditions \(f_{a,b,c}\) est un projecteur ? Donner alors son noyau et son image.

[concours/ex9725] centrale MP 2008 (avec Maple)

Pour \(a\in\mathbf{R}\), on pose \(M_a=\left(\begin{array}{ccc}0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits a&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2a)\\\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits a&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2a)\\\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2a)&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits a&0\end{array}\right)\).

1. La matrice \(M_a\) est-elle diagonalisable ?

2. Calculer \(M_a^m\) pour \(m\in\mathbf{N}\).

[planches/ex5688] imt PC 2019 Soient \(\varphi\in\mathbf{R}\) et \(A=\pmatrix{0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\varphi&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\varphi\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\varphi&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\varphi\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\varphi&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\varphi&0}\).

Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(\varphi\) pour que \(A\) soit diagonalisable.

[oraux/ex7583] mines PC 2014 Pour quels \(\phi\in\mathbf{R}\) la matrice suivante est-elle diagonalisable ? \[\pmatrix{0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2\phi)&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\phi\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\phi&0&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2\phi)\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\phi&\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2\phi)&0}.\]

[planches/ex2877] hec courts S 2018 On considère la matrice de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) : \[M=\pmatrix{e^{2i\pi/3}&e^{4i\pi/3}&1\cr e^{4i\pi/3}&1&e^{2i\pi/3}\cr1&e^{2i\pi/3}&e^{4i\pi/3}}.\]

1. Calculer la trace et le rang de \(M\).

2. La matrice \(M\) est-elle diagonalisable ?

3. Justifier que \(M\) est semblable à la matrice \(M'=\pmatrix{e^{4i\pi/3}&e^{2i\pi/3}&1\cr e^{2i\pi/3}&1&e^{4i\pi/3}\cr1&e^{4i\pi/3}&e^{2i\pi/3}}\).

[planches/ex2798] tpe PC 2017 Soit \(M=\pmatrix{j&j^2&1\cr j^2&1&j\cr1&j&j^2}\). Calculer le rang de \(M\). Préciser son spectre. Est-elle trigonalisable ? diagonalisable ?

[examen/ex3540] mines PSI 2025 Soit \(A=\pmatrix{0&z&z\cr1&0&z\cr1&1&0}\) avec \(z\in\mathbf{C}\).

1. Si \(z=1\), justifier que \(A\) est diagonalisable.

2. Pour quels \(z\in\mathbf{C}\), la matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?