Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex8980] navale PC 2022 Soit \((a_1,a_2,a_3)\in\mathbf{C}^3\) tel que \((a_1,a_2)\neq(0,0)\). Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{C}^3\) dont la matrice dans la base canonique est \(\pmatrix{0&0&a_1\cr0&0&a_2\cr a_1&a_2&a_3}\).

1. Calculer le noyau de \(f\).

2. Montrer que le polynôme caractéristique de \(f\) vaut \(\chi_f=X(X^2-a_3X-(a_1^2+a_2^2))\).

3. On suppose que \(a_1^2+a_2^2\neq0\) et \(4a_3^2+a_1^2+a_2^2\neq0\). Montrer que \(A\) est diagonalisable et calculer ses sous-espaces propres.

4. On suppose que \(a_1^2+a_2^2=0\). Montrer que \(A\) n’est pas diagonalisable.

[oraux/ex7702] ensam PSI 2015 Soit \(A=\pmatrix{a&b&b\cr b&a&b\cr b&b&a}\), avec \(a\) et \(b\in\mathbf{C}\). Étudier la diagonalisabilité de \(A\), déterminer ses sous-espaces propres.

[oraux/ex7486] ccp MP 2013 Soient \(k\in\mathbf{R}\) et \[f:(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\mapsto(kx+y+z,x+ky+z,x+y+kz).\]

1. Calculer le polynôme caractéristique de \(f\).

2. Déterminer le rang de \(f\) suivant \(k\).

3. Déterminer les sous-espaces propres de \(f^n\), avec \(n\in\mathbf{N}\).

[planches/ex8984] ccinp PC 2022 Soit \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) tel que \(a^2+b^2+c^2=1\) et \(M=\pmatrix{a^2&ba&ac\cr ab&b^2&bc\cr ac&bc&c^2}\).

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{rg}}{\hbox{rg}}{\mathrm{rg}}{\mathrm{rg}}}\nolimits(M)=1\).

2. Déterminer le spectre de \(M\). La matrice \(M\) est-elle diagonalisable ?

3. Déterminer les espaces propres de \(M\).

[oraux/ex7475] centrale PC 2013 Soient \((x,y,z)\in\mathbf{C}^3\setminus\{(0,0,0)\}\) et \(M=\pmatrix{x^2&xy&xz\cr xy&y^2&yz\cr xz&yz&z^2}\).

1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que \(M\) soit diagonalisable.

2. Si \(M\) n’est pas diagonalisable, montrer que \(M\) est semblable à la matrice \((a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant 3}\) de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) où \(a_{1,3}=1\), les autres coefficients étant nuls.

3. Calculer \(M^p\) pour \(p\in\mathbf{N}\).

[oraux/ex8602] ensea PSI 2016 Soient \((x,y,z)\in\mathbf{C}^3\setminus\{0\}\) et \[M=\pmatrix{x^2&xy&xz\cr xy&y^2&yz\cr xz&yz&z^2}.\]

1. Montrer qu’il existe \(C\in\mathscr{M}_{3,1}(\mathbf{C})\) tel que \(M=CC^T\).

2. Déterminer le rang de \(M\).

3. Montrer que \(M\) est semblable à une matrice de la forme \(N=\pmatrix{a&0&0\cr b&0&0\cr c&0&0}\) avec \((a,b,c)\neq(0,0,0)\). Expliciter \(a\) en fonction de \(x\), \(y\) et \(z\).

4. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que \(M\) soit diagonalisable.

[ev.algebre/ex2147] Diagonaliser la matrice \(M\) de l’endomorphisme \(f\) : \[M=\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right).\]

[concours/ex0009] polytechnique MP 1996 Diagonaliser \[\left(\begin{array}{ccc}m&1&1\\1&m&1\\1&1&m\end{array}\right)\,.\]

[concours/ex1733] polytechnique PC 1999 Soit \(M=\left(\begin{array}{ccc} 0&a&a^2\\1/a&0&a\\1/a^2&1/a&0\end{array}\right)\). Calculer \(M^k\).

[concours/ex1422] centrale MP 1998 Pour \(z\in\mathbf{C}\), on pose \(M(z)=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&z\\1&1&0\\1&1&1\end{array}\right)\).

1. Montrer que \(M\) admet une valeur propre \(\lambda\) telle que \(|\lambda|\geqslant 1\).

2. Montrer que \(M(z)\) est diagonalisable si et seulement si \(z\neq0\) et \(z\neq\displaystyle{27\over4}\).

3. Ensemble des \(z\) tels que \(M(z)\) admette une valeur propre de module \(1\).

[concours/ex9834] mines PC 2009 Soit, pour \(z\in\mathbf{C}\), \(M_z=\left(\begin{array}{ccc}0&0&z\\1&0&0\\1&1&0\end{array}\right)\). Montrer que \(M_z\) est diagonalisable sauf pour deux valeurs de \(z\).

[planches/ex8333] mines PC 2022 Soit \((a,\alpha)\in\mathbf{R}^2\). On pose \(M=\pmatrix{0&a&a^2\cr a^{-1}&0&a\cr a^{-2}&a^{-1}&0}\) et \(B_\alpha=\pmatrix{\alpha&a&a^2\cr a^{-1}&\alpha&a\cr a^{-2}&a^{-1}&\alpha}\).

1. Calculer \(M^2\). En déduire que \(M\) est inversible et calculer \(M^{-1}\).

2. Calculer \(M^n\) pour tout \(n\in\mathbf{N}\).

3. Déterminer si \(M\) est diagonalisable, et calculer les éléments propres de \(M\).

4. Déterminer si \(B_\alpha\) est diagonalisable, et calculer les éléments propres de \(B_\alpha\).

[concours/ex6558] mines MP 2006 Soit \(a\in\mathbf{R}^*\) et \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&a&a^2\\1/a&1&a\\ 1/a^2&1/a&1\end{array}\right)\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

[examen/ex0353] hec E 2023 Soit \(m\) un réel strictement positif et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice \(M\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\) est : \[M=\pmatrix{0&1/m&1/m^2\cr m&0&1/m\cr m^2&m&0}.\] On note \(I\) la matrice identité de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) et \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) l’endomorphisme identité de \(\mathbf{R}^3\). Pour tout endomorphisme \(g\) de \(\mathbf{R}^3\) on pose \(g^0=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) et pour tout \(k\) appartenant à \(\mathbf{N}^*\), \(g^k=g\mathbin{\circ} g^{k-1}\).

1. Question de cours : critère de diagonalisabilité d’une matrice selon les sous-espaces propres.

2. 1. Montrer que la matrice \(M^2\) est une combinaison linéaire de \(M\) et de \(I\). En déduire un polynôme annulateur non nul de \(M\).

   2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(M\). La matrice \(M\) est-elle diagonalisable ?

3. Soient \(p\) et \(q\) les endomorphismes de \(\mathbf{R}^3\) définis par \(p=\displaystyle{1\over3}(f+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\) et \(q=-\displaystyle{1\over3}(f-2\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\).

   1. Calculer \(p\mathbin{\circ} q\) et \(q\mathbin{\circ} p\), puis pour tout \(n\) appartenant à \(\mathbf{N}\), \(p^n\) et \(q^n\).

   2. En déduire pour tout entier naturel \(n\), l’expression de \(f^n\) en fonction de \(p\) et \(q\).

   3. Déterminer deux suites réelles \((a_n)\) et \((b_n)\) telles que pour tout \(n\) appartenant à \(\mathbf{N}\), \(M^n=a_nI+b_nM\).

   4. Cette dernière formule reste-t-elle valable si \(n\) appartient à \(\mathbf{Z}\) ?

[concours/ex6722] escp B/L 2008 Soit \(a\) un réel non nul, et \(A\) la matrice définie par : \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&a&a^2\\ 1/a&0&a\\ {1}/{a^2}&1/a&0\end{array}\right)\)

1. Calculer \(A^2\).

2. Trouver un polynôme \(P\) unitaire et de degré \(2\) annulateur de \(A\), c’est-à-dire un polynôme \(P\) de la forme \(X^2+\alpha X +\beta\) tel que \(A^2+\alpha A+\beta I=0\), où \(I\) désigne la matrice identité de \({\cal M}_3(\mathbb{R})\).

3. Montrer que la matrice \(A\) est inversible. Donner son inverse.

4. Déterminer une expression de \(A^n\) pour \(n\in\mathbb{N}\) en fonction de la matrice identité \(I\) et de la matrice \(A\).

5. 1. Quelles sont les valeurs propres possibles de \(A\) ?

   2. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

[concours/ex4483] escp B/L 2006 Soit \(a\) un réel non nul. On pose : \[A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & a & a^2 \\ 1/a & 0 & a\\ 1/a^2 & 1/a & 0\end{array}\right).\]

1. Calculer \((A+I)(A-2I)\), où \(I\) représente la matrice identité d’ordre \(3\).

2. En déduire les valeurs propres possibles de \(A\). La matrice \(A\) est-elle inversible ?

3. Montrer que \(A\) est diagonalisable et déterminer une matrice \(D\) diagonale, une matrice \(P\) inversible, telles que \(A= PDP^{-1}\).

[examen/ex1912] mines PSI 2024 On munit \(\mathbf{R}^3\) de sa structure euclidienne canonique. Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique est \(\displaystyle\frac{1}{3}\pmatrix{2&2&-1\cr-1&2&2\cr2&-1&2}\). Déterminer sa nature et ses valeurs propres.

[oraux/ex4556] ccp PC 2011 Soient \(a\in\mathbf{R}^*\) et \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&1/a&1/a^2\\a&1&1/a\\a^2&a&1\end{array}\right)\). Déterminer le rang de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

[concours/ex4897] escp S 2001 Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\) est : \[A=\left(\begin{array}{ccc}1&2&1\\ 2&1&1\\ 0&0&3\end{array}\right).\]

1. Soit \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\), \((a,b,c)\neq (0,0,0)\). Montrer que \[P=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3 /\ ax+by+cz=0\}\] est un sous-espace vectoriel de dimension \(2\) (appelé aussi plan vectoriel) de \(\mathbf{R}^3\).

2. Soient \(P\) d’équation \(ax+by+cz=0\) et \(Q\) d’équation \(ux+vy+wz=0\) deux tels plans.

   Montrer que \(P= Q\) si et seulement s’il existe \(\lambda \in\mathbf{R}^*\) tel que \((u,v,w)=\lambda(a,b,c)\).

3. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(f\).

4. Un sous-espace vectoriel \(F\) de \(\mathbf{R}^3\) est dit stable par \(f\) si \(f(F)\subset F\).

   Déterminer les sous-espaces vectoriels de \(\mathbf{R}^3\) stables par \(f\).

[oraux/ex4036] mines PC 2011 Soit \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\). On suppose que \(-1\) et 1 sont des valeurs propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?