Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex8980] navale PC 2022 Soit \((a_1,a_2,a_3)\in\mathbf{C}^3\) tel que \((a_1,a_2)\neq(0,0)\). Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{C}^3\) dont la matrice dans la base canonique est \(\pmatrix{0&0&a_1\cr0&0&a_2\cr a_1&a_2&a_3}\).

1. Calculer le noyau de \(f\).

2. Montrer que le polynôme caractéristique de \(f\) vaut \(\chi_f=X(X^2-a_3X-(a_1^2+a_2^2))\).

3. On suppose que \(a_1^2+a_2^2\neq0\) et \(4a_3^2+a_1^2+a_2^2\neq0\). Montrer que \(A\) est diagonalisable et calculer ses sous-espaces propres.

4. On suppose que \(a_1^2+a_2^2=0\). Montrer que \(A\) n’est pas diagonalisable.

[oraux/ex7702] ensam PSI 2015 Soit \(A=\pmatrix{a&b&b\cr b&a&b\cr b&b&a}\), avec \(a\) et \(b\in\mathbf{C}\). Étudier la diagonalisabilité de \(A\), déterminer ses sous-espaces propres.

[oraux/ex7486] ccp MP 2013 Soient \(k\in\mathbf{R}\) et \[f:(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\mapsto(kx+y+z,x+ky+z,x+y+kz).\]

1. Calculer le polynôme caractéristique de \(f\).

2. Déterminer le rang de \(f\) suivant \(k\).

3. Déterminer les sous-espaces propres de \(f^n\), avec \(n\in\mathbf{N}\).

[planches/ex8984] ccinp PC 2022 Soit \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) tel que \(a^2+b^2+c^2=1\) et \(M=\pmatrix{a^2&ba&ac\cr ab&b^2&bc\cr ac&bc&c^2}\).

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{rg}}{\hbox{rg}}{\mathrm{rg}}{\mathrm{rg}}}\nolimits(M)=1\).

2. Déterminer le spectre de \(M\). La matrice \(M\) est-elle diagonalisable ?

3. Déterminer les espaces propres de \(M\).

[oraux/ex7475] centrale PC 2013 Soient \((x,y,z)\in\mathbf{C}^3\setminus\{(0,0,0)\}\) et \(M=\pmatrix{x^2&xy&xz\cr xy&y^2&yz\cr xz&yz&z^2}\).

1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que \(M\) soit diagonalisable.

2. Si \(M\) n’est pas diagonalisable, montrer que \(M\) est semblable à la matrice \((a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant 3}\) de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) où \(a_{1,3}=1\), les autres coefficients étant nuls.

3. Calculer \(M^p\) pour \(p\in\mathbf{N}\).

[oraux/ex8602] ensea PSI 2016 Soient \((x,y,z)\in\mathbf{C}^3\setminus\{0\}\) et \[M=\pmatrix{x^2&xy&xz\cr xy&y^2&yz\cr xz&yz&z^2}.\]

1. Montrer qu’il existe \(C\in\mathscr{M}_{3,1}(\mathbf{C})\) tel que \(M=CC^T\).

2. Déterminer le rang de \(M\).

3. Montrer que \(M\) est semblable à une matrice de la forme \(N=\pmatrix{a&0&0\cr b&0&0\cr c&0&0}\) avec \((a,b,c)\neq(0,0,0)\). Expliciter \(a\) en fonction de \(x\), \(y\) et \(z\).

4. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que \(M\) soit diagonalisable.

[ev.algebre/ex2147] Diagonaliser la matrice \(M\) de l’endomorphisme \(f\) : \[M=\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right).\]

[concours/ex0009] polytechnique MP 1996 Diagonaliser \[\left(\begin{array}{ccc}m&1&1\\1&m&1\\1&1&m\end{array}\right)\,.\]

[concours/ex9834] mines PC 2009 Soit, pour \(z\in\mathbf{C}\), \(M_z=\left(\begin{array}{ccc}0&0&z\\1&0&0\\1&1&0\end{array}\right)\). Montrer que \(M_z\) est diagonalisable sauf pour deux valeurs de \(z\).

[concours/ex1422] centrale MP 1998 Pour \(z\in\mathbf{C}\), on pose \(M(z)=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&z\\1&1&0\\1&1&1\end{array}\right)\).

1. Montrer que \(M\) admet une valeur propre \(\lambda\) telle que \(|\lambda|\geqslant 1\).

2. Montrer que \(M(z)\) est diagonalisable si et seulement si \(z\neq0\) et \(z\neq\displaystyle{27\over4}\).

3. Ensemble des \(z\) tels que \(M(z)\) admette une valeur propre de module \(1\).