Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex9795] polytechnique PC 2009

1. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^2=-I_n\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=0\) et que \(n\) est pair.

2. On définit une loi de composition externe \(\bullet\) faisant agir \(\mathbf{C}\) sur \(\mathbf{R}^n\) par : \(\forall\ell=a+ib\in\mathbf{C}\) avec \((a,b)\in\mathbf{R}^2\), \(\forall u\in\mathbf{R}^n\), \(\ell\bullet u=au+bAu\). Montrer que \((\mathbf{R}^n,{+},{\bullet})\) est un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel.

3. Soit \(n\) pair. Trouver une matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^2=-I_n\).

[oraux/ex7348] mines PC 2016 Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) telle que \[M^2=\pmatrix{0&0&0\cr1&0&0\cr0&1&0}\ ?\]

[planches/ex6674] mines MP 2021 Soit \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie. Soit \(f\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(f^2=-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\).

1. Trouver un exemple d’un tel endomorphisme en dimension 2.

2. Montrer que \(f\) n’a pas de valeur propre réelle et que la dimension de \(E\) est paire.

3. On note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits E=2n\). Montrer qu’il existe une base de \(E\) de la forme \((e_1,f(e_1),\ldots,e_n,f(e_n))\).

4. Écrire la matrice de \(f\) dans cette base. Énoncer une version matricielle du résultat démontré dans cet exercice.

[planches/ex9324] ens PSI 2023 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension \(d\in\mathbf{N}^*\) et \(f\in \mathscr{L}(E)\) telle que \(f\mathbin{\circ} f=-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\).

1. Donner un exemple d’application \(f\) vérifiant les hypothèses en dimension 2.

2. Montrer que \(f\) n’a pas de valeur propre réelle. Montrer que \(E\) est de dimension paire.

3. Montrer qu’il existe \((e_1,\ldots,e_p)\) telle que \((e_1,f(e_1),\ldots,e_p,f(e_p))\) soit une base de \(E\) avec \(d=2p\). Donner la matrice de \(f\) dans cette base.

[oraux/ex7737] polytechnique, ens cachan PSI 2016 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel et \(f\) un endomorphisme de \(E\) tel que \(f^2=-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E\).

1. Donner un exemple en dimension 2.

2. Montrer que les valeurs propres de \(f\) sont imaginaires pures. En déduire que la dimension de \(E\) est paire.

3. Montrer que, pour tout \(x\in E\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(x,f(x))\) est stable par \(f\).

4. On pose \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits(E)=2n\). Montrer l’existence d’une famille \((e_1,\ldots,e_n)\in E^n\) telle que \((e_1,f(e_1),\ldots,e_n,f(e_n))\) soit une base de \(E\).

5. Écrire la matrice de \(f\) dans cette base.