Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex9985] mines PC 2010 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\setminus\{0\}\) telle que \(AM=MB\) si et seulement si \(A\) et \(B\) ont une valeur propre commune.

[oraux/ex7824] centrale PSI 2016 On considère les matrices \(A=\pmatrix{1&2&3\cr2&1&3\cr4&2&0}\) et \(B=\pmatrix{0&0&1\cr1&0&1\cr0&1&-1}\).

1. Étudier la diagonalisabilité de \(A\) et \(B\).

2. Soit \(C=\{M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R}),\ AM=MB\}\). Soit \(f\) la fonction qui prend en argument une liste de 9 éléments et dont le code est :

   def f(x):
       X=np.array(x)
       X=X.reshape((3,3))
       Y=A.dot(X)-X.dot(B)
       return(Y.reshape(9))

   Décrire ce que fait la fonction \(f\). En déduire que l’ensemble \(C\) est une droite vectorielle engendrée par une matrice de la forme \(U{}^tV\) où \(U\), \(V\in\mathscr{M}_{3,1}(\mathbf{R})\).

3. On se place maintenant dans le cas \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). On suppose \(M\in C\). Montrer que \(\forall k\in\mathbf{N}\), \(A^kM=MB^k\). Déterminer \(\chi_B(A)M\).

4. On suppose dans cette question que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(B)=\varnothing\) (il s’agit ici de spectre complexe). Déterminer \(C\).

[oraux/ex8619] ccp PSI 2016

1. Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) ayant au moins une valeur propre commune.

   1. Montrer qu’il existe \(\alpha\in\mathbf{C}\) et \(X\), \(Y\in\mathbf{C}^n\) non nuls, tels que \({}^tAX=\alpha X\) et \(BY=\alpha Y\). En déduire qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) non nulle telle que \(MA=BM\).

   2. Trouver \(M\) pour \(A=\pmatrix{1&2\cr2&1}\) et \(B=\pmatrix{3&1\cr0&1}\).

2. On s’intéresse maintenant à la réciproque. Soient \(A\), \(B\), \(M\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(MA=BM\).

   1. Montrer que si \(M\) est inversible alors \(A\) et \(B\) ont une valeur propre commune.

   2. Montrer que pour tout \(P\in\mathbf{C}[X]\), on a \(MP(A)=P(B)M\).

   3. On suppose \(M\neq0\). Montrer que \(A\) et \(B\) ont au moins une valeur propre commune.

[oraux/ex7808] centrale MP 2016 Soient \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et \[u:\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\rightarrow\mathscr{M}_n(\mathbf{C}),\qquad X\mapsto AX-XB.\]

1. Montrer que \(u\) est un endomorphisme de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

2. Soient \(\alpha\) une valeur propre de \(A\) et \(\beta\) une valeur propre de \(B\). Montrer que \(\alpha-\beta\) est une valeur propre de \(u\).

3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\setminus\{0\}\) telle que \(AX=XB\).

[oraux/ex7646] polytechnique MP 2015 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Pour \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), on note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(M)\) l’ensemble des valeurs propres complexes de \(M\). Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que : \(\forall\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits(\lambda)<0\) et \(\forall\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(B)\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits(\lambda)\leqslant 0\). Soit \(C\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer que l’équation \(C=XA+AX\) possède une et une seule solution.