Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex9590] mines PSI 2006 Soient \(A\), \(B\), \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(AM=MB\), avec \(M\neq0\).

1. Montrer que pour tout \(P\in\mathbf{C}[X]\) on a \(P(A)M=MP(B)\).

2. Montrer que \(A\) et \(B\) ont une valeur propre en commun.

[examen/ex0745] imt PSI 2023 Soient \(A\) et \(B\) deux matrices de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(B)=\varnothing\).

1. Montrer que \(\chi_A(B)\) est inversible.

   On suppose désormais qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(AM=MB\).

2. Montrer que, pour tout \(k\in\mathbf{N}\), \(A^kM=MB^k\).

3. Montrer que, pour tout \(P\in\mathbf{C}[X]\), \(P(A)M=MP(B)\).

4. Montrer que \(M\) est la matrice nulle.

5. Dans le cas général, que peut-on dire si l’on a \(M\) non nulle telle que \(AM=MB\) ?

[concours/ex5920] centrale MP 2007 Soient \((A,B)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et \(f:X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\rightarrow AX-XB\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

1. Soit \(\lambda\) (resp. \(\mu\)) une valeur propre de \(A\) (resp. \(B\)). Montrer que \(\lambda-\mu\) est valeur propre de \(f\).

2. Réciproquement, soit \(\alpha\) une valeur propre de \(f\). Montrer qu’il existe une valeur propre \(\lambda\) de \(A\) et une valeur propre \(\mu\) de \(B\) telles que \(\alpha=\lambda-\mu\).

3. Donner une condition nécessaire et suffisante simple portant sur \(A\) et \(B\) pour qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\setminus\{0\}\) telle que \(AM-MB=0\).

[planches/ex9748] mines MP 2023 Soient \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) défini par : \[\forall T\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C}),\quad u(T)=AT-TB.\]

1. Soit \(\alpha\in\mathbf{C}\) (resp. \(\beta\in\mathbf{C}\)) une valeur propre de \(A\) (resp. \(B\)). Montrer que \(\alpha-\beta\) est valeur propre de \(u\).

2. Soient \(\lambda\in\mathbf{C}\) une valeur propre de \(u\), et \(T\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) un vecteur propre associé.

   Montrer que, pour tout polynôme \(P\in\mathbf{C}[X]\), \(P(A)T=TP(\lambda I_n+B)\).

3. Montrer qu’il existe \(\alpha\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)\) et \(\beta\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(B)\) telles que \(\lambda=\alpha-\beta\).

4. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe \(T\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) non nulle telle que \(AT=TB\).

[examen/ex0611] imt MP 2023 Soient \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et \((E)\) l’équation \(AM=MB\).

1. On suppose que \((E)\) admet une solution \(M\neq0\).

   Montrer que \(\forall P\in\mathbf{C}[X]\), \(P(A)M=MP(B)\). Montrer que \(A\) et \(B\) admettent une valeur propre commune.

2. Établir la réciproque.