Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7317] polytechnique, espci PC 2016

1. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Montrer que le spectre de \(A\) est égal à \(\{1\}\) si et seulement si \(A-I_n\) est nilpotente.

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A-I_n\) est nilpotente. Montrer qu’il existe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) dont le spectre est égal à \(\{1\}\) tel que \(B^2=A\).

3. Soit \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) (resp. \(\mathscr{M}_n(\mathbf{Q})\)) nilpotente. Montrer qu’il existe \(N'\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) (resp. \(\mathscr{M}_n(\mathbf{Q})\)) nilpotente telle que \((I_n+N')^2=I_n+N\).

[oraux/ex4489] télécom PSI 2011 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) nilpotente telle que \({}^tAA=A{}^tA\). Montrer : \(A=0\).

[concours/ex8692] mines PC 2008 Soit \(p\geqslant 2\). Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que : \[M^p=\left(\begin{array}{ccccc} 0&1&0&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&&\ddots&\ddots&0\\\vdots&&&\ddots&1\\0&\cdots&\cdots&\cdots&0 \end{array}\right)\ ?\]

[concours/ex6714] escp S 2008 L’équation matricielle \(X^2=\left(\begin{array}{cc}0&1\\ 0&0\end{array}\right)\) a-t-elle des solutions dans \({\cal M}_2(\mathbb{C})\) ? Donner un exemple non trivial d’une matrice nilpotente telle que l’équation matricielle \(X^2=A\) possède des solutions.

[oraux/ex5486] mines PC 2012 Déterminer les \(M\in{\cal M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(M^2+{}^t\; M=I_3\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=0\).