Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex1948] centrale PC 1999 Soit \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) non nulle telle que \(A^3=-A\). Montrer que \(A\) est semblable à \[\left(\begin{array}{ccc} 0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}\right).\]

[concours/ex8411] centrale 2004 Résoudre dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) : \(X^3=-X\).

[concours/ex6094] centrale PC 2007 Soient \(n\geqslant 2\) et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

1. On suppose \(A\) nilpotente avec \(A^n=0\) et \(A^{n-1}\neq0\). Montrer que l’équation \(A=X^2\) n’a pas de solution dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

2. On suppose \(A\) diagonalisable avec \(n\) valeurs propres distinctes. résoudre \(A=X^2\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

[oraux/ex7065] polytechnique, espci PC 2014 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) nilpotente. Montrer l’existence de \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=I_n+A\).

[examen/ex0410] centrale MP 2023 On se place dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

1. Montrer que toute matrice est trigonalisable sur \(\mathbf{C}\).

2. Soient \(\alpha_1\), … , \(\alpha_n\in\mathbf{C}\) et \(D=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\). Montrer qu’il existe un polynôme \(f\) tel que pour tout \(i\in[\![1,n]\!]\), \(f(\alpha_i)^2=\alpha_i\). En déduire que \(f(D)^2=D\).

   On considère la suite \((c_k)_k\) définie par \(c_0=1\) et, pour tout \(k\in\mathbf{N}\), \(c_{k+1}=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^kc_ic_{k-i}\) et le polynôme \(\varphi=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}c_kX^{k+1}\).

3. Déterminer le reste de la division euclidienne de \(\varphi^2\) par \(X^n\).

4. Trouver un polynôme \(g\) tel que, pour toute matrice nilpotente \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on ait \(g(N)^2=I_n+N\).

5. Soit \(A\) une matrice inversible. Montrer qu’il existe \(R\in\mathbf{C}[A]\) telle que \(R^2=A\).