Édition de feuilles d'exercices

[equadiff/ex0544] Trouver l’équation de la courbe pour laquelle la sous-normale polaire a pour longueur deux fois la valeur du sinus de l’angle entre le rayon vecteur et l’axe \(Ox\).

[geo.diff/ex0440] Trouver les points d’intersection des courbes \(r^2=4\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits2\theta\) et \(r^2=4\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits2\theta\).

[geo.diff/ex0437] Trouver tous les points d’intersection des courbes \(r=1+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2\theta\) et \(r=1-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2\theta\).

[geo.diff/ex0201] On considère la famille des courbes \((\theta_k)\) ayant pour équation polaire : \[\rho^4-2a^2\rho^2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits2\theta= (k^4-1)a^4,\quad\hbox{où}\quad(a,k)\in(\mathbf{R}_+^*)^2.\]

1. Quelle est l’équation cartésienne des courbes \((\theta_k)\) ?

2. Quelles sont les symétries communes à ces courbes ?

3. Montrer qu’il existe sur \((Ox)\) deux points fixes \(F\) et \(F\,'\) tels que \(MF\cdot MF\,'\) reste constant quand \(M\) décrit chacune des courbes \((\theta_k)\).

4. Préciser l’ensemble des points des courbes \(\theta_k\), où la tangente est parallèle à l’axe \(Ox\). Indiquer les points des courbes \((\theta_k)\) situés sur l’un ou l’autre axe et donner l’allure des différentes courbes de la famille.

[oraux/ex1579] centrale PC 2006 Dans le plan affine euclidien orienté rapporté à un repère orthonormé direct \((0,\vec\imath,\vec\jmath)\), on considère le point \(A(a,0)\) où \(a>0\) est fixé. On considère le cercle \((C)\) centré en un point \(P\) de \(Oy\) et qui passe par \(O\). La droite \((AP)\) coupe le cercle en deux points \(M\) et \(N\).

1. Équation paramétrique de \((\Gamma)\), courbe décrite par \(M\) et \(N\) lorsque \(P\) se déplace sur \((Oy)\) ?

2. Paramétrer \((\Gamma)\) en polaires.