Édition de feuilles d'exercices

[probas/ex0143] On dispose d’un dé cubique normal, d’une urne \(A\) contenant 2 boules blanches et 4 noires et d’une urne \(B\) contenant 3 boules blanches et 4 rouges. Les tirages ont lieu sans remise. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre obtenu sur le dé. Si \(X\) est divisible par 3, on tire deux boules de l’urne \(A\). Sinon, on tire \(X\) boules de l’urne \(B\). Soit \(Y\) le nombre de boules blanches obtenues.

Déterminer la loi de \(Y\), son espérance mathématique et sa variance.

[probas/ex1099] On lance deux dés. Soit \(X\) la valeur du premier dé et \(Y\) la somme des deux valeurs. Calculer la fonction génératrice des moments conjoints de \(X\) et \(Y\).

[planches/ex2834] ccp PC 2017 Soit \(p\in\left]0,1\right[\). On pose \(q=1-p\). On considère une variable aléatoire \(X\), à valeurs dans \(\mathbf{N}\), suivant la loi géométrique de paramètre \(p\).

1. Quelle est la loi de \(X+1\) ?

2. Soit \(Y\) une variable aléatoire suivant elle aussi la loi géométrique de paramètre \(p\) et indépendante de \(X\). On pose \(Z=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\).

   Montrer que \(\mathbf{P}(X\geqslant n)=q^n\). En déduire \(\mathbf{P}(Z\geqslant n)\), puis la loi de \(Z\) et son espérance.

3. Soit \(r\in\left]0,1\right[\). On tire à pile ou face avec la probabilité \(r\) de tirer pile. On note \(T\) la variable aléatoire « nombre de faces avant le premier pile » et, pour chaque \(i\geqslant 1\), \(E_i\) l’événement « tirer face au \(i\)-ième lancer ».

   Exprimer \(T=k\) à l’aide des \(E_i\) et en déduire \(\mathbf{P}(T=k)\), ainsi que \(\mathbf{E}(T)\).

4. Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans \(\mathbf{N}\) suivant la même loi. On pose \(Z=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\). On note, pour tout \(k\in\mathbf{N}\), \(p_k=\mathbf{P}(X=k)\).

   Calculer \(\mathbf{P}(Z=i,|X-Y|=k)\), puis \(\mathbf{P}(|X-Y|=k)\).

[probas/ex1078] Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires. On en tire successivement deux échantillons aléatoires de taille 3 et 5 respectivement, ceci sans remise. Soient \(X\) et \(Y\) le nombre de boules blanches dans chacun de ces échantillons ; calculer \(E(X/Y=i)\) pour \(i=1\), 2, 3, 4.

[concours/ex4746] escp S 2003

Pour \(m\geqslant 1\), on considère une série statistique \((M_i)_{1\leqslant i\leqslant m}\) à deux variables. La première variable est notée \(Z\), la seconde \(T\) et on écrit \(M_i(z_i,t_i)\) pour tout \(i\) de \(\{1,\ldots,m\}\).

Pour les applications numériques on prend \(\overline{Z}=\overline{T}=10\), \(V(Z)=V(T)=9\) et \({\rm cov}(Z,T)=4\) et on pose \(A=\left(\begin{array}{cc}9&4\\ 4&9\end{array}\right)\).

On identifie les éléments de \(\mathbf{R}^2\) et de \({\cal M}_{2,1}(\mathbf{R})\).

1. 1. Diagonaliser \(A\) dans une base orthonormale \((e_1,e_2)\) de \(\mathbf{R}^2\) pour le produit scalaire usuel.

      Déterminer une matrice \(P\) de \({\cal M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(P^{-1}={}^tP\) et \(^tPAP\) soit diagonale.

   2. Pour tout \((x,y)\) de \(\mathbf{R}^2\) on pose \(f(x,y)= \left(\begin{array}{cc}x&y\end{array}\right)\times A\times \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\).

      Montrer que l’application \((x,y)\mapsto \displaystyle{f(x,y)\over x^2+y^2}\) admet un minimum et un maximum sur \(E=\mathbf{R}^2\setminus\{(0,0)\}\), extremums que l’on déterminera (on pourra travailler dans la base \((e_1,e_2)\)).

   3. En déduire les \((\alpha,\beta)\) de \(\mathbf{R}^2\) tels que \(\alpha^2+\beta^2=1\) qui donnent une série statistique \(\alpha\,Z+\beta\,T\) de variance maximale ; même question pour \(\alpha Z+\beta T\) de variance minimale. Déterminer les extremums.

   4. Si l’on appelle \(u_1=(\alpha_1,\beta_1)\) un couple qui donne une série statistique de variance minimale, déterminer une équation de la droite passant par le point moyen de la série et dirigée par ce vecteur.

      Montrer que cette droite est celle qui réalise le minimum de la somme des carrés des distances des points \(M_i\) à une droite \(\Delta\) passant par le point moyen \(\Omega(\overline Z,\overline T)\), d’équation \(\alpha\,x+\beta\,y+c=0\) dans le plan \(\mathbf{R}^2\) muni de sa structure euclidienne canonique (on pourra utiliser la formule \(d(M_i,\Delta)=\displaystyle{|\alpha\,z_i+\beta\,t_i+c|\over\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}\) qui donne la distance d’un point \(M_i\) à la droite \(\Delta\) d’équation \(\alpha\,x+\beta\,y+c=0\)).

      Qu’en est-il si l’on n’impose plus à la droite de passer par \(\Omega\) ?

2. Déterminer les \((\alpha,\beta)\) tels que \(\alpha\geqslant 0\), \(\beta\geqslant 0\) et \(\alpha+\beta=1\) pour lesquels la série statistique \(\alpha Z+\beta T\) admet une variance maximale que l’on déterminera ; même question pour \(\alpha Z+\beta T\) de variance minimale.