Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex4639] escp S 2004 On considère une variable aléatoire \(X\) telle que : \(X(\Omega)=\mathbf{N}\) et \(\forall k\in\mathbf{N}\), \(P(X=k)=p.q^k\), où \(p\) est un réel fixé de \(\left]0,1\right[\) et \(q=1-p\).

1. Montrer que \(X\) admet des moments de tous ordres et calculer \(E(X)\) et \(V(X)\).

2. On pose \(Y=\displaystyle{1\over X+1}\).

   1. Déterminer la loi de \(Y\).

   2. Montrer que pour \(t\in\left[0,1\right[\) et \(n\in\mathbf{N}\) : \(\sum\limits\limits_{k=1}^{n+1}\displaystyle{t^k\over k}+\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t)=\displaystyle\int_0^t{x^{n+1}\over 1-x}\,dx\).

   3. En déduire que pour \(t\in\left[0,1\right[\), \(\sum\limits\limits_{k=1}^{+\infty}\displaystyle{t^k\over k}=-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t)\).

   4. Montrer que \(Y\) admet une espérance et calculer \(E(Y)\).

3. Soit \(Z\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{N}\) telle que, pour tout \(k\) de \(\mathbf{N}\), la loi conditionnelle de \(Z\) conditionnée par la réalisation de l’événement \((X=k)\) est uniforme sur \([[0;k]]\).

   1. Déterminer la loi de \(Z\) (on laissera les résultats sous forme de sommes).

   2. Montrer que \(Z\) admet une espérance.

[concours/ex4955] escp B/L 2001 On considère une entreprise de \(400\) salariés. La moyenne et l’écart-type du salaire mensuel de tout le personnel sont respectivement \(\overline{x} = 10000\) F et \(\sigma (x) = 2000\) F. Le salaire le plus bas est \(6000\) F et le salaire le plus élevé est \(30000\) F.

À la suite d’une grève, des négociations salariales s’ouvrent. à l’issue de celles-ci, le salaire de chaque salarié sera majoré en appliquant la formule générale suivante : \(y_i = a x_i + b\), où :

• le nombre \(x_i\) représente le salaire du salarié \(i\) avant l’augmentation,

• le nombre \(y_i\) représente le salaire du salarié \(i\) après l’augmentation,

• les coefficients \(a\) et \(b\) sont à déterminer.

Trois propositions sont sur la table des négociations :

1. augmenter la masse salariale de \(5 \%\) tout en laissant inchangée la dispersion des salaires mesurée par l’écart-type.

2. augmenter la masse salariale de \(5 \%\) tout en laissant inchangée la dispersion relative des salaires mesurée par le coefficient de variation \(C V =\displaystyle{\hbox{écart-type} \over {\rm moyenne}}\).

3. réduire de \(2 \%\) la dispersion des salaires mesurée par l’écart-type tout en augmentant la masse salariale d’un montant tel qu’aucun salaire ne diminue.

1. Calculer la masse salariale et le coefficient de variation des salaires avant l’augmentation.

2. Pour chacune des trois propositions en présence :

   1. Calculer les paramètres \(a\) et \(b\) à utiliser. (Pour \({\rm P}_3\) on prendra la plus petite valeur de \(b\) vérifiant toutes les conditions).

   2. Calculer la moyenne du nouveau salaire mensuel.

3. Autour de la table de négociations, on trouve trois groupes : des représentants de la direction, des représentants des cadres et des représentants des salariés non cadres, chaque groupe ayant formulé une des trois propositions.

   1. Calculer, en pourcentage, l’augmentation de la masse salariale correspondant à la proposition \({\rm P}_3\).

   2. Donner l’allure de la représentation graphique, dans un même repère, du nouveau salaire \(y\) en fonction de l’ancien \(x\) pour chacune des propositions. On s’intéressera uniquement à la position relative de ces droites.

   3. Identifier, en utilisant les résultats précédents, de quel groupe émane chacune des propositions.

[oraux/ex6083] escp S 2014 On considère une variable aléatoire réelle discrète \(X\) définie sur un espace probabilisé \((\Omega, \mathscr{A}, P)\) telle que \[X(\Omega)=\mathbf{N} \hbox{ et }\forall k \in \mathbf{N},\ P(X=k)={a^k\over(1+a)^{k+1}},\] où \(a>0\) est fixé.

1. Vérifier que l’on a bien défini une loi de probabilité.

   Dans toute la suite, on désigne par \(Y\) une variable aléatoire indépendante de \(X\), définie sur le même espace probabilisé, et suivant la même loi que \(X\).

2. On considère la variable aléatoire \(Z=X+Y\).

   1. Déterminer la loi de \(Z\).

   2. Trouver l’espérance de la variable aléatoire \(S=\displaystyle{1\over1+Z}\).

   3. Déterminer \(E\left(\displaystyle{X\over1+Z}\right)\).

3. On considère maintenant la variable aléatoire \(T=\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits(X,Y)\), définie par :

   pour tout \(\omega \in \Omega\), \(T(\omega) =\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X(\omega), Y(\omega))\).

   1. Déterminer \(P(X\leqslant n)\) pour tout \(n \in \mathbf{N}\).

   2. Prouver que la loi de \(T\) est donnée par \(T(\Omega)=\mathbf{N}\) et : \[\forall m\in\mathbf{N},\ P(T=m)={1+2a\over(1+a)^2}\left({a\over1+a}\right)^{\!2m}.\]

[planches/ex8266] mines PSI 2022 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes et de même loi uniforme sur \([[1,n]]\). Soit \(m\in[[1,n]]\). Soit \(Z\) telle que \(Z=X\) si \(Y\leqslant m\), et \(Z=Y\) sinon.

1. Déterminer la loi de \(Z\).

2. Calculer les espérances de \(X\), \(Y\) et \(Z\).

3. Pour quels entiers \(m\in[[1,n]]\) l’espérance \(\mathbf{E}(Z)\) est-elle maximale ?

[probas/ex0019] Soient \(X\) et \(Y\) deux V.A.R. discrètes telles que : \[\left\{\begin{array}{l} E(X)=E(Y)=m\ (m\neq0),\\V(X)=\sigma_1^2,\ V(Y)=\sigma_2^2,\\ \mathop{\mathchoice{\hbox{cov}}{\hbox{cov}}{\mathrm{cov}}{\mathrm{cov}}}\nolimits(X,Y)=\mu,\ V(X-Y)\neq0.\end{array}\right.\] Soit \(Z=aX+bY\). Déterminer \(a\) et \(b\) pour que \(E(Z)=m\) et que \(V(Z)\) soit minimale.