Édition de feuilles d'exercices

[probas/ex2054] On effectue un tirage avec remise de deux nombres entre 1 et 5. Soit \(X=0\) si le premier nombre tiré est pair et \(X=1\) sinon ; et \(Y=1\) si le deuxième nombre est impair et \(Y=0\) sinon. On pose \(Z=X+Y\).

1. Donner la loi de \(Z\).

2. Calculer \(\mathbf{E}(Z)\), et vérifier que \(\mathbf{E}(Z)=\mathbf{E}(X)+\mathbf{E}(Y)\).

3. Calculer \(\mathbf{V}(X)\), \(\mathbf{V}(Y)\) et \(\mathbf{V}(Z)\), et comparer \(\mathbf{V}(Z)\) à \(\mathbf{V}(X)+\mathbf{V}(Y)\).

[concours/ex6693] escp S 2008 Un vendeur de cycles vend des pédales de bicyclette qu’il se procure chez son grossiste par boîtes de deux ; toutes les boîtes sont supposées identiques et dans chaque boîte il y a une pédale droite et une pédale gauche.

• Lorsqu’un client demande le remplacement de ses deux pédales de vélo, le commerçant lui vend une boîte complète et lui fait payer la somme de \(2r\) euros.

• Lorsqu’un client demande le remplacement d’une seule des deux pédales, le commerçant décide de ne pas obliger le client à acheter une boîte complète, mais majore le prix de la pédale dans une proportion \(\alpha\), c’est-à-dire lui fait payer la somme de \((1 + \alpha)r\) euros.

Pour la simplicité de l’étude, on suppose que l’on sait que le nombre de pédales à poser séparément pendant la durée de l’étude vaut \(2n\), où \(n\) est un entier naturel non nul. On suppose que le vendeur ne dispose au départ que de boîtes complètes et en nombre suffisant.

Soit \(p\) la probabilité qu’une demande d’un client qui ne demande qu’une pédale corresponde à une pédale droite (\(p\) n’est pas nécessairement égal à \(1/2\)) et \(X\) le nombre de boîtes nécessaires à la satisfaction de ces \(2n\) demandes. (le commerçant n’ouvre une boîte que s’il ne dispose pas d’une boîte entamée lui permettant d’accéder à la demande du client)

1. Quelle est la loi de \(X\) ? On précisera l’ensemble des valeurs prises par \(X\).

2. Montrer que \(X\) peut s’écrire : \(X=a+\left|Y-b\right|\), où \(a\) et \(b\) sont des constantes qu’on précisera et \(Y\) une variable aléatoire qui suit une loi binomiale.

   Donner l’expression l’espérance de \(E(X)\) en fonction de \(n\) et \(p\).

   Dans la suite, on prendra la valeur \(p=1/2\).

3. Quelle majoration \(\alpha\) le marchand de cycles doit-il appliquer au prix de chaque pédale vendue séparément pour qu’en moyenne le prix de vente des \(2n\) pédales vendues séparément soit égal au prix de vente des \(X\) boîtes nécessaires vendues \(2r\) euros chacune.

   La valeur \(\alpha\) trouvée dépend de \(n\) et on la note dorénavant \(\alpha_n\). Prouver que la suite \((\alpha_n)\) est décroissante. Donner un équivalent simple de \(\alpha_n\) et la limite de \(\alpha_n\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).

   \([[\)On admettra la formule de Stirling : \(n\,!\sim\sqrt{2\pi n}\big(\displaystyle{n\over e}\big)^{n}\) \(]]\)

[probas/ex2282] Vrai ou faux ?

Si \(X\) et \(Y\) sont deux variables aléatoires possédant une espérance, alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X,Y)\) possèdent également une espérance.

[oraux/ex8323] polytechnique, espci PC 2015

1. Soient \((x,y)\in(\mathbf{R}_+)^2\) et \((p,q)\in(\mathbf{R}_+^*)^2\) tel que \(1/p+1/q=1\). Montrer : \[x^{1/p}y^{1/q}\leqslant{x\over p}+{y\over q}.\]

2. Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires positives. Montrer : \[\mathbf{E}(XY)\leqslant\mathbf{E}(X^p)^{1/p}\mathbf{E}(Y^q)^{1/q}.\]

[probas/ex0143] On dispose d’un dé cubique normal, d’une urne \(A\) contenant 2 boules blanches et 4 noires et d’une urne \(B\) contenant 3 boules blanches et 4 rouges. Les tirages ont lieu sans remise. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre obtenu sur le dé. Si \(X\) est divisible par 3, on tire deux boules de l’urne \(A\). Sinon, on tire \(X\) boules de l’urne \(B\). Soit \(Y\) le nombre de boules blanches obtenues.

Déterminer la loi de \(Y\), son espérance mathématique et sa variance.