Édition de feuilles d'exercices

[probas/ex1057] Combien de fois vous attendez-vous à lancer un dé équilibré avant que chacune des six faces soit apparue au moins une fois ?

[oraux/ex8349] mines PC 2015 On considère une urne ayant une proportion \(p\in\left]0,1\right[\) de boules noires et \(q=1-p\) de boules blanches. On effectue des tirages avec remise. On note \(N_k\) l’événement « tirer une boule noire au \(k\)-ième tirage » et \(B_k\) l’événement « tirer une boule blanche au \(k\)-ième tirage ». On note \(X\) la longueur de la première série de tirages de boules de même couleur et \(Y\) la longueur de la deuxième série. Par exemple, \((X=1)\cap(Y=2)\) est réalisé par l’événement \(N_1\cap B_2\cap B_3\cap N_4\) ou \(B_1\cap N_2\cap N_3\cap B_4\).

1. Donner la loi conjointe du couple \((X,Y)\).

2. Trouver la loi de \(X\), l’espérance de \(X\) et montrer que \(\mathbf{E}(X)\geqslant 2\).

3. Trouver la loi et l’espérance de \(Y\).

[planches/ex3699] mines PSI 2018 Une urne contient une proportion \(p\) de boules blanches et \(1-p\) de boules noires. On effectue des tirages avec remise. On note \(X\) le nombre de boules de même couleur tirées successivement au départ, et \(Y\) le nombre de boules de même couleur tirées successivement lors de la seconde série. Par exemple, si on obtient \(B\), \(B\), \(B\), \(N\), \(N\), \(B\), … alors \(X=3\) et \(Y=2\).

1. Donner la loi conjointe de \((X,Y)\).

2. Déterminer la loi, l’espérance et la variance de \(X\).

3. Même question avec \(Y\).

[planches/ex4022] centrale PC 2018 Une urne contient une proportion \(p\in\left]0,1\right[\) de boules blanches, les autres boules étant noires. On effectue des tirages avec remise. Soient \(X\) la variable aléatoire donnant la longueur de la première série de boules d’une même couleur, \(Y\) la variable aléatoire donnant la longueur de la deuxième série de boules de la même couleur.

1. Donner la loi de \((X,Y)\).

2. Déterminer la loi de \(X\), son espérance et sa variance.

3. Déterminer la loi de \(Y\), son espérance et sa variance.

4. Les variables aléatoires \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ?

5. Déterminer la loi de \(X+Y\).

[planches/ex5015] mines MP 2019 Soient \(p\in\left]0,1\right[\), \((X_k)_{k\geqslant 1}\) une suite i.i.d. de variables aléatoires de Bernoulli de paramètre \(p\). On pose \(L_1=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{k\in\mathbf{N}^*\ ;\ X_1=X_2=\cdots=X_k\}\) si cet ensemble est fini, \(+\infty\) sinon.

1. Montrer que \(L_1\) est presque sûrement fini, donner sa loi, son espérance et sa variance.

2. Si \(L_1<+\infty\), soit \(L_2=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{\ell\in\mathbf{N}^*\ ;\ X_{L_1+1}=X_{L_1+2}=\cdots=X_{L_1+\ell}\}\) si cet ensemble est fini, \(+\infty\) sinon. Montrer que \(L_2\) est presque sûrement fini, donner sa loi, son espérance et sa variance.