Édition de feuilles d'exercices

[probas/ex1057] Combien de fois vous attendez-vous à lancer un dé équilibré avant que chacune des six faces soit apparue au moins une fois ?

[planches/ex3699] mines PSI 2018 Une urne contient une proportion \(p\) de boules blanches et \(1-p\) de boules noires. On effectue des tirages avec remise. On note \(X\) le nombre de boules de même couleur tirées successivement au départ, et \(Y\) le nombre de boules de même couleur tirées successivement lors de la seconde série. Par exemple, si on obtient \(B\), \(B\), \(B\), \(N\), \(N\), \(B\), … alors \(X=3\) et \(Y=2\).

1. Donner la loi conjointe de \((X,Y)\).

2. Déterminer la loi, l’espérance et la variance de \(X\).

3. Même question avec \(Y\).

[oraux/ex8349] mines PC 2015 On considère une urne ayant une proportion \(p\in\left]0,1\right[\) de boules noires et \(q=1-p\) de boules blanches. On effectue des tirages avec remise. On note \(N_k\) l’événement « tirer une boule noire au \(k\)-ième tirage » et \(B_k\) l’événement « tirer une boule blanche au \(k\)-ième tirage ». On note \(X\) la longueur de la première série de tirages de boules de même couleur et \(Y\) la longueur de la deuxième série. Par exemple, \((X=1)\cap(Y=2)\) est réalisé par l’événement \(N_1\cap B_2\cap B_3\cap N_4\) ou \(B_1\cap N_2\cap N_3\cap B_4\).

1. Donner la loi conjointe du couple \((X,Y)\).

2. Trouver la loi de \(X\), l’espérance de \(X\) et montrer que \(\mathbf{E}(X)\geqslant 2\).

3. Trouver la loi et l’espérance de \(Y\).

[planches/ex4022] centrale PC 2018 Une urne contient une proportion \(p\in\left]0,1\right[\) de boules blanches, les autres boules étant noires. On effectue des tirages avec remise. Soient \(X\) la variable aléatoire donnant la longueur de la première série de boules d’une même couleur, \(Y\) la variable aléatoire donnant la longueur de la deuxième série de boules de la même couleur.

1. Donner la loi de \((X,Y)\).

2. Déterminer la loi de \(X\), son espérance et sa variance.

3. Déterminer la loi de \(Y\), son espérance et sa variance.

4. Les variables aléatoires \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ?

5. Déterminer la loi de \(X+Y\).

[planches/ex5015] mines MP 2019 Soient \(p\in\left]0,1\right[\), \((X_k)_{k\geqslant 1}\) une suite i.i.d. de variables aléatoires de Bernoulli de paramètre \(p\). On pose \(L_1=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{k\in\mathbf{N}^*\ ;\ X_1=X_2=\cdots=X_k\}\) si cet ensemble est fini, \(+\infty\) sinon.

1. Montrer que \(L_1\) est presque sûrement fini, donner sa loi, son espérance et sa variance.

2. Si \(L_1<+\infty\), soit \(L_2=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{\ell\in\mathbf{N}^*\ ;\ X_{L_1+1}=X_{L_1+2}=\cdots=X_{L_1+\ell}\}\) si cet ensemble est fini, \(+\infty\) sinon. Montrer que \(L_2\) est presque sûrement fini, donner sa loi, son espérance et sa variance.

[examen/ex0791] imt PSI 2023 On considère une urne comportant une proportion \(p\) de boules blanches et \(q=1-p\) de boules noires. On effectue des tirages dans cette urne avec remise. On note \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de boules successives de la même couleur lors d’une première série de lancers et \(Y\) la variable aléatoire qui compte le nombre de boules successives de la même couleur lors de la deuxième série de lancers. Si l’on obtient indéfiniment la même couleur, on notera \(X=+\infty\).

Exemple : BBBNNNNNB donne \(X=3\) et \(Y=5\).

1. Énoncer le théorème de continuité croissante.

   En déduire que les événements \((X=+\infty)\) et \((Y=0)\) sont négligeables.

2. Déterminer la loi du couple \((X,Y)\).

[planches/ex2791] ensam PSI 2017

1. Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{N}\).

   1. Pour \(k\in\mathbf{N}\), trouver une relation entre \(\mathbf{P}(X>k-1)\), \(\mathbf{P}(X>k)\) et \(\mathbf{P}(X=k)\).

   2. En déduire l’égalité \(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^nk\mathbf{P}(X=k)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\mathbf{P}(X>k)-n\mathbf{P}(X>n)\).

   3. On suppose que \(X\) admet une espérance. Montrer que la série de terme général \(\mathbf{P}(X>k)\) converge et que \(n\mathbf{P}(X>n)\) tend vers 0.

   4. Réciproquement, on suppose que la série de terme général \(\mathbf{P}(X>k)\) converge. Montrer que \(X\) admet une espérance.

2. Application. Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires suivant des lois géométriques de paramètres \(p_1\) et \(p_2\) respectivement. Soit \(Z=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{X,Y\}\).

   1. Calculer \(\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n\mathbf{P}(X>k)\).

   2. Montrer que \(Z\) admet une espérance et la calculer.

[planches/ex1923] polytechnique, espci PC 2017 Soient \(X\), \(Y\) deux variables aléatoires strictement positives indépendantes et de même loi. Montrer que \(\mathbf{E}(X/Y)\geqslant 1\).

[examen/ex0018] mines MP 2023 Soient \(X_1\), \(X_2\) deux variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi géométrique de paramètre \(p\in\left]0,1\right[\). On pose \(Y=|X_1-X_2|\).

1. Calculer \(\mathbf{P}(Y=0)\).

2. Déterminer la loi de \(Y\).

3. Montrer que \(Y\) est d’espérance finie et calculer \(\mathbf{E}(Y)\).

4. Montrer que \(Y\) possède un moment d’ordre 2 et calculer \(\mathbf{V}(Y)\).

[examen/ex0391] mines PC 2023 Soient \(X\) ,\(Y\) deux variables aléatoires discrètes à valeurs dans \(\mathbf{R}^{+*}\), indépendantes et identiquement distribuées. Montrer que \(\mathbf{E}(X/Y)\geqslant 1\). À quelle condition a-t-on égalité ?

[examen/ex0030] mines MP 2023 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires discrètes strictement positives, de même loi et d’espérance finie. Montrer que \(\mathbf{E}(X/Y)\geqslant 1\).

Indication : Commencer par le cas où \(X\) et \(Y\) sont indépendantes.

[planches/ex2163] mines MP 2017 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires à valeurs dans \(\mathbf{N}^*\) telles que \(X\leqslant Y\), pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), on ait \(\mathbf{P}(Y=n)>0\) et que \(X\) suive la loi uniforme pour la probabilité conditionnelle à \(\{Y=n\}\).

1. Que peut-on dire des lois de \(X\) et \(Y-X+1\) ?

2. Montrer que si \(X\) suit une loi géométrique de paramètre \(p\), alors \(X\) et \(Y-X+1\) sont indépendantes.

3. Montrer que si \(X\) et \(Y-X+1\) sont indépendantes, alors \(X\) suit une loi géométrique.

4. On suppose \(Y\) d’espérance finie. Montrer que \(X\) est d’espérance finie et exprimer \(\mathbf{E}(X)\) en fonction de \(\mathbf{E}(Y)\).

[oraux/ex4644] escp courts 2011 Soit \(N\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{N}\) ; pour tout \(n \in \mathbf{N}\), on note \(p_n = P(N=n)\).

Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur le même univers \(\Omega\) et telle que, pour tout \(n \in N(\Omega)\), la loi conditionnelle de \(X\) sachant \([N=n]\) est la loi uniforme sur \(\{ 0,1, \ldots, n \}\).

1. Comparer la loi de \(X\) et celle de \(N-X\).

2. Si \(N\) suit une loi géométrique de paramètre \(p\), calculer \(E(X)\).

[concours/ex4627] escp S 2004 Soient \(N\) et \(X\) deux variables aléatoires discrètes définies sur le même univers \(\Omega\), telles que \(N(\Omega) \subset \mathbf{N}\), et que pour \(k \in N(\Omega)\), la loi conditionnelle de \(X\) sachant \((N=k)\) est la loi uniforme sur \(\{0,1,\ldots,k \}\).

On note, pour \(k \in \mathbf{N}\) , \(p_k = P(N=k)\).

1. 1. Déterminer la loi du couple \((X,N)\) en fonction de la loi de \(N\).

   2. Donner, sous la forme d’une somme faisant intervenir les \(p_k\), la probabilité \(P(X=i)\), pour \(i \in \mathbf{N}\).

   3. Montrer que \((N-X)(\Omega) \subset \mathbf{N}\) et que \(N-X\) suit la même loi que \(X\).

2. On suppose dans cette question qu’il existe \(n \geqslant 2\) vérifiant \(\forall k \geqslant n+1\), \(p_k = 0\) et \(\forall k \leqslant n\), \(p_k >0\).

   1. Justifier l’existence des espérances et variances de \(N\) et de \(X\) et de la covariance de \(N\) et \(X\).

   2. Trouver une relation entre \(E(N)\) et \(E(X)\), puis entre \(V(N)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cov}}{\hbox{cov}}{\mathrm{cov}}{\mathrm{cov}}}\nolimits(N,X)\).

   3. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cov}}{\hbox{cov}}{\mathrm{cov}}{\mathrm{cov}}}\nolimits(N,N-2X)\). Les variables \(N\) et \(N-2X\) sont-elles indépendantes ?

3. On suppose dans cette question que \(p_0 = p_1 = 0\) et \(\forall k \geqslant 2\), \(p_k = {1\over k(k-1)}\).

   1. Déterminer explicitement la loi du couple \((X,N)\) et la loi de \(X\).

   2. Les variables \(X\) et \(N\) admettent-elles une espérance ?

   3. Montrer que les espérances \(E\left(\displaystyle{1\over X+1}\right)\) et \(E\left(\displaystyle{1\over N+1} \right)\) existent et les calculer.

[oraux/ex8482] mines MP 2016 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). On considère \(n\) urnes \(U_1\), … , \(U_n\). Pour \(k=1\), … , \(n\), l’urne \(U_k\) contient \(k\) boules numérotées de 1 à \(k\). On choisit en toute indépendance et uniformité, une urne, puis une boule dans cette urne. La variable aléatoire \(X\) indique le numéro de l’urne choisie, la variable aléatoire \(Y\) le numéro de la boule.

1. Déterminer la loi du couple \((X,Y)\).

2. Calculer l’espérance de \(Y\).

[planches/ex8487] mines PC 2022 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). On se donne deux variables aléatoires indépendantes \(X_n\), \(Y_n\) suivant la loi uniforme sur \(\mathbf{U}_n\).

1. Calculer l’espérance \(E_n\) et la variance \(V_n\) de \(Z_n=|X_n-Y_n|\).

2. Déterminer la limite de chaque suite \((E_n)\) et \((V_n)\).

[planches/ex2689] ensea MP 2017 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires à valeurs dans \([[0,n]]\) telles que, pour tout \(k\in[[0,n]]\), la loi conditionnelle de \(X\) sachant \(\{Y=k\}\) est la loi uniforme sur \([[0,k]]\). Déterminer la loi de \((X,Y)\) puis la loi de \(X\), en fonction de celle de \(Y\). Calculer l’espérance de \(X\) en fonction de celle de \(Y\).

[oraux/ex6097] escp B/L 2014 Soient \(p\) et \(q\) deux réels tels que \(p\in\left]0,1\right[\) et \(q=1-p\).

On considère une variable aléatoire réelle discrète \(X\), définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{B},P)\), dont la loi de probabilité est donnée par : \[X(\Omega)=\mathbf{N}\hbox{ et }\forall k \in \mathbf{N},\ P(X=k)=p\,q^k.\]

1. Montrer que \(X\) admet une espérance et une variance et les calculer.

2. On définit une nouvelle variable aléatoire en posant \(Y =\displaystyle{1\over X+1}\).

   1. Déterminer la loi de probabilité de \(Y\).

   2. Soit \(n\in \mathbf{N}\) et soit \(x\in\left[0,1\right[\). Rappeler la valeur de la somme \(S_n=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^n x^i.\)

      En déduire que \(\forall n \in \mathbf{N}\), \(\forall t \in\left[0,1\right[\), \(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n+1}{t^k\over k} =-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t)-\displaystyle\int_0^t{x^{n+1}\over1-x}\,dx\).

   3. Prouver la convergence et calculer la somme de la série \(\displaystyle\sum\limits_{k\geqslant 1}{t^k\over k}\).

   4. Montrer que \(Y\) admet une espérance et la calculer.

3. Soit \(Z\) une variable aléatoire réelle discrète telle que \(Z(\Omega)=\mathbf{N}\) et telle que pour tout \(k \in \mathbf{N}\), la loi conditionnelle de \(Z\) sachant que \((X=k)\) est réalisé est la loi uniforme sur \([[0,k]]\).

   1. Pour tout \(n\in N\), exprimer \(P(Z=n)\) sous la forme d’une somme.

   2. Montrer que \(Z\) admet une espérance que l’on notera \(E(Z)\).

   3. Calculer \(E(Z)\) (on admettra qu’il est possible de permuter l’ordre des sommations à effectuer).

[probas/ex1040] Soient \(X\) et \(Y\) des variables aléatoires indépendantes, ayant autant de chances l’une et l’autre de prendre n’importe quelle valeur parmi 1, 2, … , \(m\). Montrer que : \[E(|X-Y|)={(m-1)(m+1)\over3m}.\]

[probas/ex0334] On dispose de 5 urnes numérotées de 1 à 5.

L’urne numéro \(k\) contient \(k\) boules numérotées de 1 à \(k\). On choisit une urne au hasard et on tire une boule de cette urne. On définit les deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) par : \(X\) est le numéro de l’urne choisie, \(Y\) est le numéro de la boule tirée.

1. Déterminer la loi du couple \((X,Y)\) ; en déduire les lois de probabilité de \(X\) et de \(Y\).

2. Calculer \(E(X)\) et \(E(Y)\).