[probas/ex1057] Combien de fois vous attendez-vous à lancer un dé équilibré avant que chacune des six faces soit apparue au moins une fois ?
[probas/ex1057]
[planches/ex3699] mines PSI 2018 Une urne contient une proportion \(p\) de boules blanches et \(1-p\) de boules noires. On effectue des tirages avec remise. On note \(X\) le nombre de boules de même couleur tirées successivement au départ, et \(Y\) le nombre de boules de même couleur tirées successivement lors de la seconde série. Par exemple, si on obtient \(B\), \(B\), \(B\), \(N\), \(N\), \(B\), … alors \(X=3\) et \(Y=2\).
[planches/ex3699]
Donner la loi conjointe de \((X,Y)\).
Déterminer la loi, l’espérance et la variance de \(X\).
Même question avec \(Y\).
[planches/ex4022] centrale PC 2018 Une urne contient une proportion \(p\in\left]0,1\right[\) de boules blanches, les autres boules étant noires. On effectue des tirages avec remise. Soient \(X\) la variable aléatoire donnant la longueur de la première série de boules d’une même couleur, \(Y\) la variable aléatoire donnant la longueur de la deuxième série de boules de la même couleur.
[planches/ex4022]
Donner la loi de \((X,Y)\).
Déterminer la loi de \(X\), son espérance et sa variance.
Déterminer la loi de \(Y\), son espérance et sa variance.
Les variables aléatoires \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ?
Déterminer la loi de \(X+Y\).
[oraux/ex8349] mines PC 2015 On considère une urne ayant une proportion \(p\in\left]0,1\right[\) de boules noires et \(q=1-p\) de boules blanches. On effectue des tirages avec remise. On note \(N_k\) l’événement « tirer une boule noire au \(k\)-ième tirage » et \(B_k\) l’événement « tirer une boule blanche au \(k\)-ième tirage ». On note \(X\) la longueur de la première série de tirages de boules de même couleur et \(Y\) la longueur de la deuxième série. Par exemple, \((X=1)\cap(Y=2)\) est réalisé par l’événement \(N_1\cap B_2\cap B_3\cap N_4\) ou \(B_1\cap N_2\cap N_3\cap B_4\).
[oraux/ex8349]
Donner la loi conjointe du couple \((X,Y)\).
Trouver la loi de \(X\), l’espérance de \(X\) et montrer que \(\mathbf{E}(X)\geqslant 2\).
Trouver la loi et l’espérance de \(Y\).
[planches/ex2791] ensam PSI 2017
[planches/ex2791]
Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{N}\).
Pour \(k\in\mathbf{N}\), trouver une relation entre \(\mathbf{P}(X>k-1)\), \(\mathbf{P}(X>k)\) et \(\mathbf{P}(X=k)\).
En déduire l’égalité \(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^nk\mathbf{P}(X=k)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\mathbf{P}(X>k)-n\mathbf{P}(X>n)\).
On suppose que \(X\) admet une espérance. Montrer que la série de terme général \(\mathbf{P}(X>k)\) converge et que \(n\mathbf{P}(X>n)\) tend vers 0.
Réciproquement, on suppose que la série de terme général \(\mathbf{P}(X>k)\) converge. Montrer que \(X\) admet une espérance.
Application. Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires suivant des lois géométriques de paramètres \(p_1\) et \(p_2\) respectivement. Soit \(Z=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{X,Y\}\).
Calculer \(\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n\mathbf{P}(X>k)\).
Montrer que \(Z\) admet une espérance et la calculer.
[planches/ex5015] mines MP 2019 Soient \(p\in\left]0,1\right[\), \((X_k)_{k\geqslant 1}\) une suite i.i.d. de variables aléatoires de Bernoulli de paramètre \(p\). On pose \(L_1=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{k\in\mathbf{N}^*\ ;\ X_1=X_2=\cdots=X_k\}\) si cet ensemble est fini, \(+\infty\) sinon.
[planches/ex5015]
Montrer que \(L_1\) est presque sûrement fini, donner sa loi, son espérance et sa variance.
Si \(L_1<+\infty\), soit \(L_2=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{\ell\in\mathbf{N}^*\ ;\ X_{L_1+1}=X_{L_1+2}=\cdots=X_{L_1+\ell}\}\) si cet ensemble est fini, \(+\infty\) sinon. Montrer que \(L_2\) est presque sûrement fini, donner sa loi, son espérance et sa variance.
[examen/ex0791] imt PSI 2023 On considère une urne comportant une proportion \(p\) de boules blanches et \(q=1-p\) de boules noires. On effectue des tirages dans cette urne avec remise. On note \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de boules successives de la même couleur lors d’une première série de lancers et \(Y\) la variable aléatoire qui compte le nombre de boules successives de la même couleur lors de la deuxième série de lancers. Si l’on obtient indéfiniment la même couleur, on notera \(X=+\infty\).
[examen/ex0791]
Exemple : BBBNNNNNB donne \(X=3\) et \(Y=5\).
Énoncer le théorème de continuité croissante.
En déduire que les événements \((X=+\infty)\) et \((Y=0)\) sont négligeables.
Déterminer la loi du couple \((X,Y)\).
[examen/ex0018] mines MP 2023 Soient \(X_1\), \(X_2\) deux variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi géométrique de paramètre \(p\in\left]0,1\right[\). On pose \(Y=|X_1-X_2|\).
[examen/ex0018]
Calculer \(\mathbf{P}(Y=0)\).
Déterminer la loi de \(Y\).
Montrer que \(Y\) est d’espérance finie et calculer \(\mathbf{E}(Y)\).
Montrer que \(Y\) possède un moment d’ordre 2 et calculer \(\mathbf{V}(Y)\).
[planches/ex1923] polytechnique, espci PC 2017 Soient \(X\), \(Y\) deux variables aléatoires strictement positives indépendantes et de même loi. Montrer que \(\mathbf{E}(X/Y)\geqslant 1\).
[planches/ex1923]
[examen/ex0391] mines PC 2023 Soient \(X\) ,\(Y\) deux variables aléatoires discrètes à valeurs dans \(\mathbf{R}^{+*}\), indépendantes et identiquement distribuées. Montrer que \(\mathbf{E}(X/Y)\geqslant 1\). À quelle condition a-t-on égalité ?
[examen/ex0391]
[examen/ex0030] mines MP 2023 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires discrètes strictement positives, de même loi et d’espérance finie. Montrer que \(\mathbf{E}(X/Y)\geqslant 1\).
[examen/ex0030]
Indication : Commencer par le cas où \(X\) et \(Y\) sont indépendantes.
[concours/ex4627] escp S 2004 Soient \(N\) et \(X\) deux variables aléatoires discrètes définies sur le même univers \(\Omega\), telles que \(N(\Omega) \subset \mathbf{N}\), et que pour \(k \in N(\Omega)\), la loi conditionnelle de \(X\) sachant \((N=k)\) est la loi uniforme sur \(\{0,1,\ldots,k \}\).
[concours/ex4627]
On note, pour \(k \in \mathbf{N}\) , \(p_k = P(N=k)\).
Déterminer la loi du couple \((X,N)\) en fonction de la loi de \(N\).
Donner, sous la forme d’une somme faisant intervenir les \(p_k\), la probabilité \(P(X=i)\), pour \(i \in \mathbf{N}\).
Montrer que \((N-X)(\Omega) \subset \mathbf{N}\) et que \(N-X\) suit la même loi que \(X\).
On suppose dans cette question qu’il existe \(n \geqslant 2\) vérifiant \(\forall k \geqslant n+1\), \(p_k = 0\) et \(\forall k \leqslant n\), \(p_k >0\).
Justifier l’existence des espérances et variances de \(N\) et de \(X\) et de la covariance de \(N\) et \(X\).
Trouver une relation entre \(E(N)\) et \(E(X)\), puis entre \(V(N)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cov}}{\hbox{cov}}{\mathrm{cov}}{\mathrm{cov}}}\nolimits(N,X)\).
Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cov}}{\hbox{cov}}{\mathrm{cov}}{\mathrm{cov}}}\nolimits(N,N-2X)\). Les variables \(N\) et \(N-2X\) sont-elles indépendantes ?
On suppose dans cette question que \(p_0 = p_1 = 0\) et \(\forall k \geqslant 2\), \(p_k = {1\over k(k-1)}\).
Déterminer explicitement la loi du couple \((X,N)\) et la loi de \(X\).
Les variables \(X\) et \(N\) admettent-elles une espérance ?
Montrer que les espérances \(E\left(\displaystyle{1\over X+1}\right)\) et \(E\left(\displaystyle{1\over N+1} \right)\) existent et les calculer.
[oraux/ex4644] escp courts 2011 Soit \(N\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{N}\) ; pour tout \(n \in \mathbf{N}\), on note \(p_n = P(N=n)\).
[oraux/ex4644]
Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur le même univers \(\Omega\) et telle que, pour tout \(n \in N(\Omega)\), la loi conditionnelle de \(X\) sachant \([N=n]\) est la loi uniforme sur \(\{ 0,1, \ldots, n \}\).
Comparer la loi de \(X\) et celle de \(N-X\).
Si \(N\) suit une loi géométrique de paramètre \(p\), calculer \(E(X)\).
[planches/ex2163] mines MP 2017 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires à valeurs dans \(\mathbf{N}^*\) telles que \(X\leqslant Y\), pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), on ait \(\mathbf{P}(Y=n)>0\) et que \(X\) suive la loi uniforme pour la probabilité conditionnelle à \(\{Y=n\}\).
[planches/ex2163]
Que peut-on dire des lois de \(X\) et \(Y-X+1\) ?
Montrer que si \(X\) suit une loi géométrique de paramètre \(p\), alors \(X\) et \(Y-X+1\) sont indépendantes.
Montrer que si \(X\) et \(Y-X+1\) sont indépendantes, alors \(X\) suit une loi géométrique.
On suppose \(Y\) d’espérance finie. Montrer que \(X\) est d’espérance finie et exprimer \(\mathbf{E}(X)\) en fonction de \(\mathbf{E}(Y)\).
[planches/ex2689] ensea MP 2017 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires à valeurs dans \([[0,n]]\) telles que, pour tout \(k\in[[0,n]]\), la loi conditionnelle de \(X\) sachant \(\{Y=k\}\) est la loi uniforme sur \([[0,k]]\). Déterminer la loi de \((X,Y)\) puis la loi de \(X\), en fonction de celle de \(Y\). Calculer l’espérance de \(X\) en fonction de celle de \(Y\).
[planches/ex2689]
[probas/ex1040] Soient \(X\) et \(Y\) des variables aléatoires indépendantes, ayant autant de chances l’une et l’autre de prendre n’importe quelle valeur parmi 1, 2, … , \(m\). Montrer que : \[E(|X-Y|)={(m-1)(m+1)\over3m}.\]
[probas/ex1040]
[oraux/ex6097] escp B/L 2014 Soient \(p\) et \(q\) deux réels tels que \(p\in\left]0,1\right[\) et \(q=1-p\).
[oraux/ex6097]
On considère une variable aléatoire réelle discrète \(X\), définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{B},P)\), dont la loi de probabilité est donnée par : \[X(\Omega)=\mathbf{N}\hbox{ et }\forall k \in \mathbf{N},\ P(X=k)=p\,q^k.\]
Montrer que \(X\) admet une espérance et une variance et les calculer.
On définit une nouvelle variable aléatoire en posant \(Y =\displaystyle{1\over X+1}\).
Déterminer la loi de probabilité de \(Y\).
Soit \(n\in \mathbf{N}\) et soit \(x\in\left[0,1\right[\). Rappeler la valeur de la somme \(S_n=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^n x^i.\)
En déduire que \(\forall n \in \mathbf{N}\), \(\forall t \in\left[0,1\right[\), \(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n+1}{t^k\over k} =-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t)-\displaystyle\int_0^t{x^{n+1}\over1-x}\,dx\).
Prouver la convergence et calculer la somme de la série \(\displaystyle\sum\limits_{k\geqslant 1}{t^k\over k}\).
Montrer que \(Y\) admet une espérance et la calculer.
Soit \(Z\) une variable aléatoire réelle discrète telle que \(Z(\Omega)=\mathbf{N}\) et telle que pour tout \(k \in \mathbf{N}\), la loi conditionnelle de \(Z\) sachant que \((X=k)\) est réalisé est la loi uniforme sur \([[0,k]]\).
Pour tout \(n\in N\), exprimer \(P(Z=n)\) sous la forme d’une somme.
Montrer que \(Z\) admet une espérance que l’on notera \(E(Z)\).
Calculer \(E(Z)\) (on admettra qu’il est possible de permuter l’ordre des sommations à effectuer).
[oraux/ex6106] escp B/L 2014
[oraux/ex6106]
Soit \(N\) une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{A},P)\), à valeurs dans \(\mathbf{N}\) ; pour tout \(n \in \mathbf{N}\), on note \(p_n = P(N=n)\).
Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur le même espace et telle que, pour tout \(n \in N(\Omega)\), la loi conditionnelle de \(X\) sachant \((N=n)\) est la loi uniforme sur \([[0,n]]\).
Déterminer la loi de \(X\).
Déterminer la loi de \(N-X\).
Dans cette question, on suppose que pour tout \(n\in \mathbf{N}\), on a \(p_n=\displaystyle {2\over(n+2)\,(n+3)}\).
Déterminer trois réels \(a\), \(b\), \(c\) tels que \[\forall n \in \mathbf{N},\ {2\over(n+1)\,(n+2)\,(n+3)} ={a\over n+1} +{b\over n+2} + {c\over n+3}\]
Les variables \(X\) et \(Y = 1/(X+3)\) admettent-elles une espérance ? La calculer le cas échéant.
Dans un casino, une machine propose le jeu suivant : dans un premier temps, la machine tire au hasard, avec remise, une carte dans un jeu comportant une proportion \(1-q=p \in \left] 0,1\right[\) d’As. On suppose les tirages indépendants. La machine (qui mémorise les cartes tirées) s’arrête à la première apparition d’un As.
Ensuite, la machine ajoute aux cartes déjà tirées un joker, puis choisit au hasard une carte parmi celles-ci. Si elle tire le joker, on ne gagne rien. Sinon, on gagne une somme \(S\) égale au rang de sortie de la carte tirée (par exemple, si les tirages ont été successivement \(3\) \(\heartsuit\), \(9\) \(\spadesuit\,\), R \(\clubsuit\,\), A \(\heartsuit\) et que le résultat du jeu est R \(\clubsuit\) (3-ième carte tirée), on gagne \(3\) Euros.)
Quel est le prix minimum de la partie pour que le casino espère gagner de l’argent ? Que vaut ce prix pour un jeu classique de 52 cartes comportant quatre As ?
[planches/ex8487] mines PC 2022 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). On se donne deux variables aléatoires indépendantes \(X_n\), \(Y_n\) suivant la loi uniforme sur \(\mathbf{U}_n\).
[planches/ex8487]
Calculer l’espérance \(E_n\) et la variance \(V_n\) de \(Z_n=|X_n-Y_n|\).
Déterminer la limite de chaque suite \((E_n)\) et \((V_n)\).
[oraux/ex8482] mines MP 2016 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). On considère \(n\) urnes \(U_1\), … , \(U_n\). Pour \(k=1\), … , \(n\), l’urne \(U_k\) contient \(k\) boules numérotées de 1 à \(k\). On choisit en toute indépendance et uniformité, une urne, puis une boule dans cette urne. La variable aléatoire \(X\) indique le numéro de l’urne choisie, la variable aléatoire \(Y\) le numéro de la boule.
[oraux/ex8482]
Calculer l’espérance de \(Y\).
[probas/ex0334] On dispose de 5 urnes numérotées de 1 à 5.
[probas/ex0334]
L’urne numéro \(k\) contient \(k\) boules numérotées de 1 à \(k\). On choisit une urne au hasard et on tire une boule de cette urne. On définit les deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) par : \(X\) est le numéro de l’urne choisie, \(Y\) est le numéro de la boule tirée.
Déterminer la loi du couple \((X,Y)\) ; en déduire les lois de probabilité de \(X\) et de \(Y\).
Calculer \(E(X)\) et \(E(Y)\).
[oraux/ex8523] mines PC 2016 Soient \(X_n\) et \(Y_n\) deux variables aléatoires suivant des lois uniformes sur \([[1,n]]\) et indépendantes. On pose \(Z_n=|X_n-Y_n|\) et \(T_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X_n,Y_n)\). Calculer \(\mathbf{E}(Z_n)\) et \(\mathbf{E}(T_n)\). Déterminer des équivalents de \(\mathbf{E}(Z_n)\) et \(\mathbf{E}(T_n)\) lorsque \(n\rightarrow+\infty\).
[oraux/ex8523]
[oraux/ex8547] centrale PSI 2016 (avec Python)
[oraux/ex8547]
Python
Deux amis se sont donné rendz-vous à 18 heures. Ils arrivent en retard de \(X\) et \(Y\) minutes respectivement. On suppose que \(X\) et \(Y\) sont des variables aléatoires suivant la loi uniforme sur \([[0,59]]\).
À quoi correspond la variable \(T=|X-Y|\) ?
Donner la loi de \(T\).
Écrire une fonction rdv(n) qui renvoie les résultats de \(n\) simulations de \(T\).
rdv(n)
Calculer l’espérance exacte de \(T\).
Donner une approximation de l’espérance avec Python. Commenter l’écart.
On pose \(n=10^5\). Écrire un programme qui renvoie approximativement la loi de \(T\) à l’aide du programme rdv(n). Commenter les écarts.
[probas/ex0007] On jette une pièce de monnaie jusqu’à ce qu’on obtienne pile pour la deuxième fois. On suppose qu’à chaque lancer de la pièce, la probabilité d’obtenir pile est \(p\), \(p\in\left]0,1\right[\).
[probas/ex0007]
On note \(X\) le nombre de faces obtenues avant d’obtenir pile pour la deuxième fois.
Si \(X=n\), on place \(n+1\) boules numérotées de 0 à \(n\) dans une urne et on tire au hasard l’une de ces boules. On note alors \(Y\) le numéro de la boule tirée.
Quelle est la loi de \(X\) ? \(X\) admet-elle une espérance ? Si oui la calculer.
\(Y\) admet-elle une espérance ? La calculer.
[planches/ex3594] mines MP 2018
[planches/ex3594]
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre \(p\in\left]0,1\right[\). Calculer \(\mathbf{E}(1/X)\).
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre \(\lambda>0\). Calculer \(\displaystyle\mathbf{E}\left({1\over1+X}\right)\).
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement des lois géométriques de paramètres \(p\) et \(q\). Déterminer \(\mathbf{E}(\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{X,Y\})\).
[planches/ex2585] centrale PSI 2017 Soit \(p\in\left]0,1\right[\). On se donne une pièce qui tombe sur pile avec la probabilité \(p\). On la lance jusqu’à obtenir deux fois pile et on note \(X\) le nombre de faces obtenues.
[planches/ex2585]
Donner la loi de \(X\).
Montrer l’existence et donner la valeur de l’espérance de \(X\).
Si \(X=n\), on place \(n+1\) boules numérotées de 0 à \(n\) dans une urne. On pioche une boule au hasard et \(Y\) désigne le numéro de la boule piochée. Donner la loi de \(Y\) et son espérance.
[planches/ex8261] mines PSI 2022 Soient \(X\), \(Y\) des variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres \(p_1\) et \(p_2\). On pose \(M=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X,Y)\).
[planches/ex8261]
Justifier que \(M\) est une variable aléatoire.
Déterminer la loi de \(M\).
Déterminer l’espérance et la variance de \(M\) en utilisant \(m=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\).
[planches/ex6847] mines MP 2021 Soient \(X_1\) et \(X_2\) deux variables aléatoires indépendantes suivant les lois géométriques de paramètres \(p_1\) et \(p_2\). Calculer les espérances de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X_1,X_2)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X_1,X_2)\).
[planches/ex6847]
[planches/ex7834] polytechnique PSI 2022 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi géométrique de paramètre \(p\). On pose \(U=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\) et \(V=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X,Y)\).
[planches/ex7834]
Trouver les lois de \(U\) et \(V\).
Trouver la loi de \((U,V)\).
Trouver la loi de \(U+V\) et son espérance.
[planches/ex8634] centrale PSI 2022 (avec Python)
[planches/ex8634]
Deux amis se sont donné rendez-vous à 18 heures. Ils arrivent en retard de \(X\) et \(Y\) minutes respectivement. On suppose que \(X\) et \(Y\) sont des variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur \(\{0,\ldots,59\}\).
Calculer la valeur exacte de l’espérance de \(T\).
On pose \(n=10^5\). Donner une fonction qui renvoie approximativement la loi de \(T\) à l’aide de la fonction rdv. Commenter les écarts.
rdv
On découpe une heure en \(N\) divisions de temps. Donner un équivalent de la probabilité que les amis arrivent en même temps lorsque \(N\) tend vers \(+\infty\).
[planches/ex7417] ccinp PC 2021 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes de lois géométriques de paramètres respectifs \(p_1\in\left]0,1\right[\) et \(p_2\in\left]0,1\right[\).
[planches/ex7417]
Donner loi et espérance de la variable \(\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\).
Donner loi et espérance de la variable \(\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X,Y)\).
[oraux/ex6078] escp S 2014 Toutes les variables aléatoires de cet exercice sont définies sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{A},P)\).
[oraux/ex6078]
Soit \(N\in\mathbf{N}^*\).
Le programme d’un examen est constitué de \(N\) questions dont \(n\) (différentes) sont tirées au hasard pour constituer l’épreuve. Chacune de ces \(n\) questions fait l’objet d’un questionnaire à choix multiples (QCM) ; chaque question comporte 4 réponses dont une seule est juste ; donner une réponse juste rapporte \(1\) point et une réponse fausse rapporte \(0\) point.
Un candidat donné connaît une proportion \(p\) des réponses aux questions du programme ; on note \(X\) le nombre de questions de l’examen dont le candidat connaît la réponse et auxquelles il répondra donc correctement ; pour les autres questions, le candidat « tentera sa chance » en donnant une réponse au hasard à la question posée. On note \(Y\) la note de ce candidat.
Déterminer la loi de \(X\) et donner son espérance.
Pour \(n\) et \(p\) fixés, par quelle loi peut-on approcher celle de \(X\) lorsque \(N\) tend vers l’infini ?
Donner la variance de cette loi approchée. Dans la suite, on utilisera cette approximation pour évaluer \(V(X)\).
Pour tout \(k\in[[ 0,n]]\), déterminer la loi conditionnelle de \(Y-X\) sachant que \((X=k)\) est réalisé, préciser son espérance \(E(Y-X|X=k)\) et sa variance \(V(Y-X|X=k)\).
Déterminer l’espérance de \(Y\).
Pour tout \(k\in [[0,n ]]\), montrer que :
\(E((Y-E(Y))^2|X=k)=E((Y-E(Y|X=k))^2|X=k)+(E(Y|X=k)-E(Y))^2\).
En déduire que la variance de \(Y\) vaut : \(V(Y)=\displaystyle{n(1-p)\over16}(3+9p)\).
[oraux/ex6189] escp S 2015 Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2\). On considère une urne contenant \(n\) boules numérotées de \(1\) à \(n\).
[oraux/ex6189]
On effectue des tirages successifs et sans remise d’une boule de cette urne jusqu’à obtenir la boule numérotée \(n\). On note \(X_1\) le nombre de tirages ainsi effectués.
Déterminer la loi de \(X_1\) et son espérance.
Les deux questions suivantes étudient deux prolongements possibles de l’expérience à l’issue de cette première série de tirages.
Après cette première série de tirages, on continue de sortir les boules de l’urne jusqu’à obtenir la boule de plus grand numéro parmi les numéros restants. On note \(X_2\) le nombre de nouveaux tirages ainsi effectués (si à l’issue de la première série de tirages l’urne est vide, on décide que \(X_2\) prend alors la valeur \(0\)).
Déterminer la loi de \(X_2\) et vérifier que \(\sum\limits_{j=0}^{n-1}P(X_2=j)=1\).
Les variables aléatoires \(X_1\) et \(X_2\) sont-elles indépendantes ?
Calculer l’espérance de \(X_2\).
Après cette première série de tirages, s’il reste au moins une boule dans l’urne, on tire une boule au hasard et on note \(X_3\) le numéro obtenu (si l’urne est vide on convient que \(X_3\) prend la valeur \(0\)).
Déterminer la loi du couple \((X_1,X_3)\).
Déterminer la loi de \(X_3\).
[planches/ex8149] mines MP 2022 On joue à Pile ou Face, on note \(p\in\left]0,1\right[\) la probabilité de tirer Pile. On note \(Z\) la variable aléatoire donnant le rang du premier Pile. Si \(Z=k\), on remplit une urne de \(k\) boules numérotées de 1 à \(k\), et on tire une boule au hasard. On note \(X\) la variable donnant le numéro de la boule tirée. Déterminer la loi, l’espérance et la variance de \(X\).
[planches/ex8149]
[probas/ex0001] Dans une urne, on place \(n\) boules portant des numéros 2 à 2 distincts.
[probas/ex0001]
Un premier joueur effectue des tirages d’une boule sans remise jusqu’à ce qu’il obtienne la boule portant le plus grand numéro.
On note \(X_1\) le nombre de tirages effectués par ce joueur.
S’il reste des boules dans l’urne, un second joueur effectue la même expérience sur les boules restantes.
On note \(X_2\) le nombre de tirages effectués par ce second joueur.
Déterminer la loi de \(X_1\) et \(E(X_1)\).
Déterminer la loi de \(X_2\) conditionnée par \(X_1\).
Calculer \(E(X_2)\).
[concours/ex4727] escp S 2003 On considère une urne contenant \(n\) boules numérotées portant des numéros deux à deux distincts.
[concours/ex4727]
Un premier joueur effectue dans l’urne des tirages sans remise jusqu’à ce qu’il obtienne la boule portant le plus grand numéro. On note \(X_1\) le nombre de tirages effectués par ce joueur.
S’il reste des boules dans l’urne, un deuxième joueur effectue la même expérience (c’est-à-dire qu’il effectue des tirages sans remise jusqu’à obtenir la boule de plus grand numéro parmi celles présentent au moment où il entre en jeu).
On note \(X_2\) le nombre de tirages effectués par ce second joueur (nombre qui vaut éventuellement 0).
Donner la loi, l’espérance et la variance de \(X_1\).
Donner la loi de \(X_2\) conditionnée par \(X_1\).
En déduire que pour \(1\leqslant k\leqslant n-1\), \(P(X_2=k)=\displaystyle{1\over n}\sum\limits_{i=k}^{n-1}{1\over i}\), puis donner la loi de \(X_2\).
Calculer l’espérance \(E(X_2)\).
Écrire un programme Pascal choisissant et affichant \(n\) numéros distincts entre 1 et 100, (\(n\) est entré au clavier) puis calculant \(X_1\) et \(X_2\), si l’on suppose que les tirages sont effectués dans l’ordre choisi par l’ordinateur. On pourra s’aider des lignes de programme suivantes, après avoir expliqué ce qu’elles font : REPEAT b[i] := RANDOM(100)+1; a := 0; FOR j :=1 TO i-1 DO IF b[i]=b[j] THEN a := a+1; UNTIL a=0;
REPEAT b[i] := RANDOM(100)+1;
a := 0;
FOR j :=1 TO i-1 DO
IF b[i]=b[j] THEN a := a+1;
UNTIL a=0;
(on rappelle que RANDOM(100) retourne au hasard une valeur entre 0 et 99.)
RANDOM(100)
[oraux/ex8390] centrale PC 2015 (avec Python)
[oraux/ex8390]
Une urne contient des boules numérotées de 1 à \(n\). Le premier joueur tire des boules de l’urne sans remise. Il s’arrête lorsqu’il obtient la boule portant le numéro \(n\). On note \(X_1\) le nombre de tirages effectués par le premier joueur. Le deuxième joueur effectue des tirages sans remise jusquà ce qu’il obtienne la boule de numéro maximal restant dans l’urne. On note \(X_2\) le nombre de tirages effetcués par le deuxième joueur. On pose \(X_2=0\) si \(X_1=n\).
Déterminer la loi, l’espérance et la variance de \(X_1\).
Déterminer \(\mathbf{P}(X_2=k|X_1=j)\). En déduire la loi de \(X_2\) ainsi que son espérance.
Écrire une fonction simulant \(X_1\) et \(X_2\).
[planches/ex7895] polytechnique, espci PC 2022 On lance une pièce équilibrée autant de fois qu’il le faut avant de tomber sur pile. On note \(n\) le nombre total de lancers puis on tire aléatoirement un entier de 1 à \(n\) avec probabilité uniforme. On note \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre ainsi tiré.
[planches/ex7895]
Calculer \(\mathbf{P}(X=1)\).
Calculer l’espérance puis la variance de \(X\).
[examen/ex0376] mines PC 2023 On munit l’ensemble \(\Omega\), fini à \(n\geqslant 2\) éléments, de la loi de probabilité uniforme. On note \(F\) l’espace des variables aléatoires réelles sur \(\Omega\).
[examen/ex0376]
Montrer que l’application \((X,Y)\in F^2\mapsto\mathbf{E}(XY)\) définit un produit scalaire sur \(F\).
Déterminer la projection orthogonale de \(X\in F\) sur la droite dirigée par la variable 1.
[concours/ex4920] escp S 2001 Dans cet exercice, \(\Omega\) désigne un ensemble fini non vide, \({\cal P}(\Omega )\) l’ensemble des parties de \(\Omega\) et \((\Omega, {\cal P}(\Omega ), P)\) un espace probabilisé.
[concours/ex4920]
On note \({\cal F}\) l’ensemble des applications de \(\Omega\) dans \(\mathbf{R}\). Si \(X \in {\cal F}\), on note \(E(X)\) l’espérance de la variable aléatoire \(X\).
Si \(A\) est une partie de \(\Omega\), on note \(1_A\) la fonction caractéristique de \(A\), c’est-à-dire l’application définie pour tout \(\omega \in \Omega\) par : \[1_A(\omega)= \cases{1 & si $ \omega \in A$\cr 0 & sinon.\cr }\]
Soit \(A \subset \Omega\). Calculer \(E(1_A)\).
Montrer que l’application \(\varphi\) définie sur \({\cal F}\times {\cal F}\) par : \(\varphi~: (X,Y) \mapsto E(XY)\), est un produit scalaire sur \({\cal F}\) si et seulement si pour tout \(\omega \in \Omega,\ P(\{\omega\}) > 0\).
Dans la suite de l’exercice, on supposera que \(P\) vérifie cette propriété et \({\cal F}\) sera muni de ce produit scalaire.
Soit \(X \in {\cal F}\) une variable aléatoire non constante.
On note \(G\) le sous-espace vectoriel de \({\cal F}\) engendré par \(X\) et la variable aléatoire constante égale à 1, soit \(G=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits (X,1_\Omega)\). Soit \(Y \in {\cal F}\).
Déterminer les réels \(a_0\) et \(b_0\) pour lesquels \(Y -a_0 X -b_0\) est orthogonal à tout élément de \(G\).
En déduire l’expression de la projection orthogonale de \(Y\) sur \(G\) qu’on notera \(p_G(Y)\).
Comparer \(E(p_G(Y))\) et \(E(Y)\).
On suppose que \(X = 1_A\), avec \(A\) partie de \(\Omega\) non vide et distincte de \(\Omega\). Montrer que pour tout \(B \subset \Omega\) : \[p_G(1_B) = P(B/A) 1_A+ P(B/\overline{A}) 1_{\overline{A}},\] où \(P(U/V)\) désigne la probabilité conditionnelle de l’événement \(U\), sachant que l’événement \(V\) est réalisé.
[planches/ex1599] ens PSI 2017 Un questionnaire comporte 20 questions. Pour chaque question, \(k\) réponses sont possibles dont une seule est bonne. Chaque bonne réponse rapporte 1 point. Un candidat répond au hasard à toutes les questions.
[planches/ex1599]
Soit \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de points obtenus par le candidat à ce questionnaire. Déterminer la loi de \(X\).
À chaque question, si le candidat s’est trompé, il a droit à une seconde chance et peut choisir une autre réponse parmi celles qui restent. Il gagne alors \(1/2\) point en cas de bonne réponse. Soit \(Y\) le nombre de \(1/2\) points obtenus, déterminer la loi de \(Y\).
Déterminer \(k\) pour que le candidat obtienne en moyenne une note de 5 sur 20.
[oraux/ex8489] mines MP 2016 Soient \(p\), \(q\) deux réels, \(X\), \(Y\) deu variables aléatoires entières et \({}\geqslant 0\) telles que : \[\forall(m,n)\in\mathbf{N}^2,\qquad\mathbf{P}(X=m,Y=n)=p^2q^{n+m}.\]
[oraux/ex8489]
À quelles conditions sur le couple \((p,q)\) la relation précédente définit-elle bien la loi conjointe de \((X,Y)\) ?
Déterminer alors les lois marginales de \(X\) et de \(Y\), l’espérance de \(X+Y\).
Pour \(k\in\mathbf{N}\) calculer \(F_X(k)=\mathbf{P}(X\leqslant k)\).
On pose \(Z=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{X,Y\}\) et \(T=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits\{X,Y\}\).
Pour \(k\in\mathbf{N}\) calculer \(F_Z(k)=\mathbf{P}(Z\leqslant k)\). En déduire la loi de \(Z\) ainsi que son espérance.
Déterminer l’espérance de \(|X-Y|\).
[planches/ex2161] mines MP 2017 Soient \(p\in[0,1]\) et \(q=1-p\). On définit \(X\) et \(Y\) des variables aléatoires à valeurs entières telles que, pour tout \((m,n)\in\mathbf{N}^2\), on ait \(\mathbf{P}(X=m,Y=n)=p^2q^{m+n}\).
[planches/ex2161]
Déterminer les lois marginales de \(X\) et de \(Y\). Calculer \(\mathbf{E}(X+Y)\).
Calculer \(\mathbf{P}(X\leqslant k)\) pour \(k\in\mathbf{N}\).
On note \(Z=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{X,Y\}\) et \(T=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits\{X,Y\}\).
Trouver la loi de \(Z\) et calculer son espérance.
Calculer \(\mathbf{E}(|X-Y|)\).
Déterminer la loi de \(T\).
Déterminer la loi de \((X,Z)\) et retrouver la loi de \(Z\).
Déterminer \(\mathbf{P}(X+Y=m)\) pour \(m\in\mathbf{N}\).
[oraux/ex8353] mines PC 2015 Un QCM comporte 20 questions. Pour chacune des questions, il y a \(k\) réponses possibles. On obtient un point par bonne réponse. On répond au hasard, on note \(X\) le nombre de points obtenus. On nous rend le QCM dans lequel on peut modifier les réponses fausses ; on obtient un demi-point pour chaque nouvelle réponse juste obtenue (réponse au hasard parmi les \((k-1)\) restantes). Soit \(Y\) le nombre de points obtenus la deuxième fois.
[oraux/ex8353]
Déterminer l’espérance de \(Y\). Déterminer \(k\) pour que \(\mathbf{E}(Y)=5\).
[planches/ex3306] polytechnique MP 2018 Sur un même espace probabilisé, on considère deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\), dont \(X\) à valeurs dans \(\mathbf{R}\) et d’espérance finie, et \(Y\) à valeurs dans un ensemble \(A\).
[planches/ex3306]
Montrer qu’il existe une fonction \(h:A\rightarrow\mathbf{R}\) telle que, pour toute fonction bornée \(g:A\rightarrow Y\), on ait \(\mathbf{E}(Xg(Y))=\mathbf{E}(h(Y)g(Y))\). Montrer l’unicité d’une telle fonction sous réserve que \(\mathbf{P}(Y=y)>0\) pour tout \(y\in A\). On fait cette hypothèse dans la suite de l’énoncé.
Montrer que, pour tout \(y\in A\), le réel \(h(y)\) est l’espérance de la variable aléatoire \(X\) pour la loi de probabilité conditionnelle \(\mathbf{P}(Y=y)\).
On se donne ici deux variables aléatoires indépendantes \(X_1\) et \(X_2\) suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\). On se donne \(f:\mathbf{N}\rightarrow\mathbf{R}\) telle que \(X=f(X_1)\) soit d’espérance finie. On pose \(Y=X_1+X_2\). Expliciter dans ce cas la variable aléatoire \(h(X)\) où \(h\) est précisée dans la première question.
[oraux/ex6359] escp courts 2016 On utilise une pièce de monnaie qui donne pile avec la probabilité \(p \in\left]0,1\right[\).
[oraux/ex6359]
On commence par lancer la pièce jusqu’à obtenir une première fois Pile et on note \(N\) le nombre de lancers nécessaires. Si le premier Pile a été obtenu au \(n\)-ième lancer, on lance ensuite cette même pièce \(n^2\) fois et on note \(X\) le nombre de Pile obtenus au cours de ces \(n^2\) lancers.
Quelle est la loi suivie par \(N\) ? Donner l’espérance et la variance de \(N\).
Soit \(n \in \mathbf{N}^*\). Déterminer la loi conditionnelle de \(X\) sachant l’événement \((N=n)\).
En déduire l’existence et la valeur de l’espérance de \(X\).
[oraux/ex8315] polytechnique MP 2015 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé et à valeurs dans \(\mathbf{Z}\). On suppose \(Y\) d’espérance finie.
[oraux/ex8315]
Montrer qu’il existe une fonction \(g:\mathbf{Z}\rightarrow\mathbf{R}\) telle que \(g(X)\) soit d’espérance finie et, pour toute fonction \(f:\mathbf{Z}\rightarrow\mathbf{R}\) bornée, on ait \(\mathbf{E}(Yf(X))=\mathbf{E}(g(X)f(X))\).
Montrer que \(g\) est unique à un ensemble de probabilité nulle (pour la loi de \(X\)) près.
[planches/ex4848] polytechnique, espci PC 2019 Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs réelles. On dit que \(X\) est symétrique si \(X\) et \(-X\) ont même loi.
[planches/ex4848]
Soient \(Y\) et \(Y'\) deux variables aléatoires indépendantes et de même loi ne prenant qu’un nombre fini de valeurs. Montrer que \(Y-Y'\) est symétrique.
Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs réelles ne prenant qu’un nombre fini de valeurs.
Montrer que \(F_X:t\longmapsto\mathbf{E}(e^{itX})\) définit une fonction sur \(\mathbf{R}\). Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(F_X\) pour que \(X\) soit symétrique.
On suppose \(X\) symétrique. Soit \(\varepsilon\) une variable indépendante de \(X\) telle que : \[\mathbf{P}(\varepsilon=1)=\mathbf{P}(\varepsilon=-1)=1/2.\] Montrer que \(\varepsilon X\) et \(X\) ont même loi.
[planches/ex7292] centrale PC 2021 On dispose d’une pièce donnant Pile avec la probabilité \(p\in\left]0,1\right[\). On lance cette pièce jusqu’à obtenir Pile. Si Pile apparait pour la première fois au \(N\)-ième lancer, on effectue une série de \(N\) lancers avec cette même pièce et on note \(X\) le nombre de Pile obtenus au cours de cette deuxième série de lancers.
[planches/ex7292]
Déterminer la loi de \(N\).
Déterminer la loi du couple \((N,X)\).
Déterminer la loi de \(X\) et son espérance.
[oraux/ex8325] polytechnique, espci PC 2015 Soit \(\Omega\) un univers fini muni d’une probabilité \(\mathbf{P}\). Si \(X\) est une variable aléatoire réelle, on dit que \(X\) est symétrique si \(X\) et \(-X\) suivent la même loi.
[oraux/ex8325]
Soient \(Y\) et \(Y'\) deux variables indépendantes suivant la même loi. Montrer que \(Y-Y'\) est symétrique.
Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{Z}\). On pose \(f_X:t\mapsto\mathbf{E}(e^{itX})\). Montrer que \(f_X\) détermine entièrement la loi de \(X\). Si \(X\) est à valeurs dans \(\mathbf{Z}\), donner une condition nécessaire et suffisante sur \(f_X\) pour que \(X\) soit symétrique.
[probas/ex1081] Un prisonnier est enfermé dans une cellule contenant 3 portes. La première ouvre un tunnel qui revient dans la cellule après une marche de 2 jours. La seconde porte donne sur un tunnel qui revient aussi à la cellule au bout d’un voyage de 4 jours. La troisième porte conduit à la liberté au bout d’un jour de marche. On suppose que le prisonnier choisit à chaque tentative les portes 1, 2, et 3 avec des probabilités \(0.5\), \(0.3\) et \(0.2\). Quelle est l’espérance du nombre de jours qu’il faudra au prisonnier pour retrouver sa liberté ?
[probas/ex1081]
[concours/ex4638] escp S 2004
[concours/ex4638]
Compléter les lignes de programme suivantes pour en faire un programme complet :
randomize; N:=random(m)+1;X:=0; For i:=1 to N Do X:=X+random(2); Writeln(N,’ ’,X);
randomize;
N:=random(m)+1;X:=0;
For i:=1 to N Do X:=X+random(2);
Writeln(N,’ ’,X);
(on rappelle que lorsque \(a\) est un integer, random(a) renvoie une valeur integer au hasard comprise entre 0 et \(a-1\), et que la procédure randomize permet d’initialiser la fonction random.)
integer
random(a)
randomize
random
On suppose que la première valeur affichée est \(4\). Quelles sont les valeurs possibles pour la seconde valeur affichée ?
On suppose que le programme précédent simule une expérience aléatoire. Quelle est alors la loi suivie par la variable aléatoire simulée par \(N\), son espérance, sa variance ?
Préciser \(X(\Omega)\) et calculer, pour tout couple \((i,k)\), \(P(X=i/N=k)\). En déduire la loi de \(X\).
Déterminer l’espérance de \(X\).
[planches/ex8266] mines PSI 2022 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes et de même loi uniforme sur \([[1,n]]\). Soit \(m\in[[1,n]]\). Soit \(Z\) telle que \(Z=X\) si \(Y\leqslant m\), et \(Z=Y\) sinon.
[planches/ex8266]
Déterminer la loi de \(Z\).
Calculer les espérances de \(X\), \(Y\) et \(Z\).
Pour quels entiers \(m\in[[1,n]]\) l’espérance \(\mathbf{E}(Z)\) est-elle maximale ?
[planches/ex8157] mines MP 2022 Soient \(X\), \(Y\) deux variables indépendantes à valeurs dans \(\mathbf{N}\). On suppose que, pour tout \(k\in\mathbf{N}\), \(\mathbf{P}(Y=k)>0\), et que \(\mathbf{E}(Y)<\infty\). Pour \(n\in\mathbf{N}\), on définit la variable aléatoire \(Z_n\) par \(Z_n(\omega)=X(\omega)\) si \(Y(\omega)\leqslant n\) et \(Z_n(\omega)=Y(\omega)\) sinon. Montrer que la suite \(\mathbf{E}(Z_n)\) possède une valeur maximale pour au plus deux valeurs de \(n\).
[planches/ex8157]
[probas/ex0326] Un sac contient 6 jetons numérotés de 1 à 6. On en tire successivement 3 sans remise. Soit \(X\) la variable aléatoire, qui à chaque tirage, associe le plus grand des numéros tirés, et \(Y\) celle qui associe le numéro intermédiaire.
[probas/ex0326]
Déterminer les lois de \(X\) et de \(Y\).
[oraux/ex6083] escp S 2014 On considère une variable aléatoire réelle discrète \(X\) définie sur un espace probabilisé \((\Omega, \mathscr{A}, P)\) telle que \[X(\Omega)=\mathbf{N} \hbox{ et }\forall k \in \mathbf{N},\ P(X=k)={a^k\over(1+a)^{k+1}},\] où \(a>0\) est fixé.
[oraux/ex6083]
Vérifier que l’on a bien défini une loi de probabilité.
Dans toute la suite, on désigne par \(Y\) une variable aléatoire indépendante de \(X\), définie sur le même espace probabilisé, et suivant la même loi que \(X\).
On considère la variable aléatoire \(Z=X+Y\).
Trouver l’espérance de la variable aléatoire \(S=\displaystyle{1\over1+Z}\).
Déterminer \(E\left(\displaystyle{X\over1+Z}\right)\).
On considère maintenant la variable aléatoire \(T=\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits(X,Y)\), définie par :
pour tout \(\omega \in \Omega\), \(T(\omega) =\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X(\omega), Y(\omega))\).
Déterminer \(P(X\leqslant n)\) pour tout \(n \in \mathbf{N}\).
Prouver que la loi de \(T\) est donnée par \(T(\Omega)=\mathbf{N}\) et : \[\forall m\in\mathbf{N},\ P(T=m)={1+2a\over(1+a)^2}\left({a\over1+a}\right)^{\!2m}.\]
[oraux/ex6081] escp S 2014 On considère une succession (éventuellement infinie) de lancers d’une pièce. On suppose que la probabilité d’obtenir Pile lors d’un lancer est \(1-x\) et que la probabilité d’obtenir Face est \(x\). Les résultats des différents lancers sont supposés indépendants.
[oraux/ex6081]
On suppose que cette expérience est modélisée par un espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{A},P)\).
Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), on note \(S_n\) le nombre de fois où l’on a obtenu Pile au cours des \(n\) premiers lancers et \(T_n\) le numéro du lancer où l’on obtient Pile pour la \(n\)-ième fois.
Préciser la loi de \(S_n\), son espérance et sa variance.
Pour tout entier \(k\) et tout entier non nul \(n\), montrer que : \[P(T_n=n+k)={k+n-1\choose n-1}(1-x)^nx^k.\]
Montrer que \(\displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty P(T_n=n+k)=1\). Quelle est la signification de ce résultat ?
Montrer que \(T_n\) admet une espérance et calculer \(E(T_n)\).
Calculer de même \(E(T_n(T_n+1))\) ; en déduire la variance de \(T_n\).
Soient \(a\) un réel strictement positif et \(\lambda\) un réel strictement supérieur à \(1\). Un joueur joue de la manière suivante : lors du \(k\)-ième lancer il joue la somme \(a^{k-1}\) euros.
Si Pile sort, il reçoit la somme de \(\lambda a^{k-1}\) euros et il perd sa mise.
Si Face sort, il perd sa mise.
Puis on passe au lancer suivant…
On note \(G_n\) la somme des gains (positifs ou négatifs) du joueur après son \(n\)-ième succès. On suppose \(a>1\).
Exprimer \(G_1\) en fonction de \(a^{T_1}\).
Après avoir justifié son existence, calculer \(E(G_1)\).
Exprimer \(G_2\) en fonction de \(a^{T_1}\) et \(a^{T_2}\).
[concours/ex6693] escp S 2008 Un vendeur de cycles vend des pédales de bicyclette qu’il se procure chez son grossiste par boîtes de deux ; toutes les boîtes sont supposées identiques et dans chaque boîte il y a une pédale droite et une pédale gauche.
[concours/ex6693]
Lorsqu’un client demande le remplacement de ses deux pédales de vélo, le commerçant lui vend une boîte complète et lui fait payer la somme de \(2r\) euros.
Lorsqu’un client demande le remplacement d’une seule des deux pédales, le commerçant décide de ne pas obliger le client à acheter une boîte complète, mais majore le prix de la pédale dans une proportion \(\alpha\), c’est-à-dire lui fait payer la somme de \((1 + \alpha)r\) euros.
Pour la simplicité de l’étude, on suppose que l’on sait que le nombre de pédales à poser séparément pendant la durée de l’étude vaut \(2n\), où \(n\) est un entier naturel non nul. On suppose que le vendeur ne dispose au départ que de boîtes complètes et en nombre suffisant.
Soit \(p\) la probabilité qu’une demande d’un client qui ne demande qu’une pédale corresponde à une pédale droite (\(p\) n’est pas nécessairement égal à \(1/2\)) et \(X\) le nombre de boîtes nécessaires à la satisfaction de ces \(2n\) demandes. (le commerçant n’ouvre une boîte que s’il ne dispose pas d’une boîte entamée lui permettant d’accéder à la demande du client)
Quelle est la loi de \(X\) ? On précisera l’ensemble des valeurs prises par \(X\).
Montrer que \(X\) peut s’écrire : \(X=a+\left|Y-b\right|\), où \(a\) et \(b\) sont des constantes qu’on précisera et \(Y\) une variable aléatoire qui suit une loi binomiale.
Donner l’expression l’espérance de \(E(X)\) en fonction de \(n\) et \(p\).
Dans la suite, on prendra la valeur \(p=1/2\).
Quelle majoration \(\alpha\) le marchand de cycles doit-il appliquer au prix de chaque pédale vendue séparément pour qu’en moyenne le prix de vente des \(2n\) pédales vendues séparément soit égal au prix de vente des \(X\) boîtes nécessaires vendues \(2r\) euros chacune.
La valeur \(\alpha\) trouvée dépend de \(n\) et on la note dorénavant \(\alpha_n\). Prouver que la suite \((\alpha_n)\) est décroissante. Donner un équivalent simple de \(\alpha_n\) et la limite de \(\alpha_n\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
\([[\)On admettra la formule de Stirling : \(n\,!\sim\sqrt{2\pi n}\big(\displaystyle{n\over e}\big)^{n}\) \(]]\)
[concours/ex4955] escp B/L 2001 On considère une entreprise de \(400\) salariés. La moyenne et l’écart-type du salaire mensuel de tout le personnel sont respectivement \(\overline{x} = 10000\) F et \(\sigma (x) = 2000\) F. Le salaire le plus bas est \(6000\) F et le salaire le plus élevé est \(30000\) F.
[concours/ex4955]
À la suite d’une grève, des négociations salariales s’ouvrent. à l’issue de celles-ci, le salaire de chaque salarié sera majoré en appliquant la formule générale suivante : \(y_i = a x_i + b\), où :
le nombre \(x_i\) représente le salaire du salarié \(i\) avant l’augmentation,
le nombre \(y_i\) représente le salaire du salarié \(i\) après l’augmentation,
les coefficients \(a\) et \(b\) sont à déterminer.
Trois propositions sont sur la table des négociations :
augmenter la masse salariale de \(5 \%\) tout en laissant inchangée la dispersion des salaires mesurée par l’écart-type.
augmenter la masse salariale de \(5 \%\) tout en laissant inchangée la dispersion relative des salaires mesurée par le coefficient de variation \(C V =\displaystyle{\hbox{écart-type} \over {\rm moyenne}}\).
réduire de \(2 \%\) la dispersion des salaires mesurée par l’écart-type tout en augmentant la masse salariale d’un montant tel qu’aucun salaire ne diminue.
Calculer la masse salariale et le coefficient de variation des salaires avant l’augmentation.
Pour chacune des trois propositions en présence :
Calculer les paramètres \(a\) et \(b\) à utiliser. (Pour \({\rm P}_3\) on prendra la plus petite valeur de \(b\) vérifiant toutes les conditions).
Calculer la moyenne du nouveau salaire mensuel.
Autour de la table de négociations, on trouve trois groupes : des représentants de la direction, des représentants des cadres et des représentants des salariés non cadres, chaque groupe ayant formulé une des trois propositions.
Calculer, en pourcentage, l’augmentation de la masse salariale correspondant à la proposition \({\rm P}_3\).
Donner l’allure de la représentation graphique, dans un même repère, du nouveau salaire \(y\) en fonction de l’ancien \(x\) pour chacune des propositions. On s’intéressera uniquement à la position relative de ces droites.
Identifier, en utilisant les résultats précédents, de quel groupe émane chacune des propositions.
[planches/ex6357] hec E 2021 Le jeu de mémory est composé de \(n\) (\(n\) étant un entier naturel non nul) paires d’images deux à deux distinctes, sur une seule des \(n\) paires sont représentés des chatons. Ces images sont réparties en deux tas : chaque paire aura une de ses images dans chaque tas. Les images sont posées face cachée. À chaque étape, une carte de chaque tas est retournée. Si les deux cartes retournées forment la paire de chatons, alors le jeu s’arrête, sinon les cartes sont retournées et les tas à nouveau mélangés.
[planches/ex6357]
Deux joueurs \(A\) et \(B\) jouent en parallèle. Ils possèdent chacun leur propre jeu de mémory et jouent indépendamment, mais réalisent leurs étapes en même temps. On note \(X\) (respectivement \(Y\)) le nombre d’étapes de jeu effectuées par le joueur \(A\) (respectivement \(B\)) lorsqu’il trouve la paire de chatons. On note de plus : \(M = \mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X,Y)\). On admet que \(M\) est une variable aléatoire.
Question de cours : Énoncer la définition de l’espérance d’une variable aléatoire discrète.
Donner la loi de \(X\), son espérance et sa variance.
Pour tout entier naturel \(k\), déterminer \(\mathbf{P}\big( {M \leqslant k} \big)\).
Montrer que la série \(\displaystyle\sum\limits_{k \geqslant 0} \mathbf{P}\big( {M > k} \big)\) converge.
Montrer que pour tout entier naturel \(K\) non nul : \[\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{K} k \, \mathbf{P}\big( {M = k} \big) \ = \ -K \, \mathbf{P}\big( {M > K} \big) + \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{K-1} \mathbf{P}\big( {M > K} \big)\]
En déduire que \(M\) admet une espérance.
Montrer que la suite \(\Big(K \, \mathbf{P}\big( {M>K} \big) \Big)_{K \geqslant 0}\) converge vers \(0\).
Déterminer \(\mathbf{E}(M)\).
[concours/ex9106] hec E 2010 Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{A},\mathbf{P})\), qui suit la loi binomiale \(\mathscr{B}(n,p)\), avec \(n\geqslant 2\) et \(0<p<1\).
[concours/ex9106]
On définit sur \((\Omega,\mathscr{A},\mathbf{P})\) une variable aléatoire \(Y\) de la façon suivante :
pour tout \(k\) de \([[1,n]]\), la réalisation de l’événement \([X=k]\) entraîne celle de l’événement \([Y=k]\) ;
la loi conditionnelle de \(Y\) sachant \([X=0]\) est la loi uniforme sur \([[1,n]]\).
Question de cours : Le modèle binomial.
Calculer l’espérance \(\mathbf{E}(Y)\) de \(Y\).
Déterminer la loi de probabilité conditionnelle de \(Y\) sachant \([X\neq0]\).
Calculer l’espérance, notée \(\mathbf{E}(Y/X\neq0)\), de la loi conditionnelle de \(Y\) sachant \([X\neq0]\).
[planches/ex7419] ccinp PC 2021 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé. On suppose que \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\) avec \(p\in\left]0,1\right[\) et que \(Y\) suit la loi uniforme sur \(\{0,1,\ldots,n\}\).
[planches/ex7419]
On définit la variable aléatoire \(Z\) par \(\forall\omega\in\Omega\), \(Z(\omega)=\cases{X(\omega)&si $X(\omega)\neq0$\cr Y(\omega)&si $X(\omega)=0$.}\)
Déterminer la loi de \(Z\) et son espérance.
[examen/ex0565] centrale PC 2023 On dispose d’une pièce donnant pile avec un probabilité \(p\in\left]0,1\right[\). On lance cette pièce jusqu’à obtenir pile. On note \(N\) le nombre de lancers nécessaires pour obtenir ce premier pile. On lance ensuite \(N\) fois cette pièce et on note \(X\) le nombre de pile obtenus au cours de ces \(N\) lancers.
[examen/ex0565]
Quelle est la loi de \(N\) ? Donner la loi du couple \((N,X)\).
En déduire la loi de \(X\).
Soit \(\lambda\in\left]0,1\right[\). Soient \(U\), \(V\) deux variables aléatoires indépendantes telles que \(U\sim\mathscr{B}(\lambda)\) et \(V\sim\mathscr{G}(\lambda)\). Trouver \(\lambda\) tel que \(UV\sim X\).
Calculer \(\mathbf{E}(X)\) et \(\mathbf{V}(X)\).
[concours/ex4924] escp S 2001
[concours/ex4924]
Soient deux entiers naturels \(n\) et \(r\) avec \(0\leqslant r\leqslant n\).
On définit la fonction \(F_{r,n}\) sur \(\mathbf{R}\) par : \[\forall x\in\mathbf{R},\quad F_{r,n}(x)=\sum\limits\limits_{k=r}^n{k\choose r} x^k.\]
Montrer que pour tout \(x\) réel, on a \((1-x)F_{r,n}(x)\ =\ xF_{r-1,n-1}(x) - \displaystyle{n\choose r} x^{n+1}\).
Soit \(x\in\left]0,1\right[\) et \(r\in \mathbf{N}\) fixés. Donner un équivalent simple de \(\displaystyle{n\choose r}x^{n+1}\) quand \(n\) tend vers l’infini.
Montrer que pour tout \(x\) tel que \(0<x<1\) et \(r\in\mathbf{N}\) fixés, \(F_{r,n}(x)\) admet une limite lorsque \(n\) tend vers l’infini et déterminer cette limite.
On dispose de deux pièces de monnaie. La première pièce donne « Pile » avec la probabilité \(p\) et la seconde avec la probabilité \(q=1-p\). (\(p\in\left]0,1\right[\)).
on lance la première pièce jusqu’à obtenir pour la première fois « Pile ». Soit \(N\) le nombre de lancers effectués.
On lance alors \(N\) fois la seconde pièce et on note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de « Pile » obtenus durant ces \(N\) tirages.
Calculer son espérance. Commenter les cas où \(p=q=1/2\) et où \(p\) est de la forme \(1/r\).
[planches/ex4225] escp S 2018
[planches/ex4225]
On rappelle les résultats suivants :
Soit \(I\) un ensemble dénombrable infini indexé par \(\mathbf{N}\) sous la forme \(I=\{\phi(n),\ n\in\mathbf{N}\}\), où \(\phi\) est une bijection de \(\mathbf{N}\) dans \(I\). Si la série \(\displaystyle\sum\limits u_{\phi(n)}\) converge absolument, alors sa somme est indépendante de l’indexation \(\phi\), et pourra également être notée \(\displaystyle\sum\limits_{i\in I}u_i\). On dit alors que la série \(\displaystyle\sum\limits_{i\in I}u_i\) converge absolument.
Dans ce cas, si \(\displaystyle I=\bigsqcup_{j\in J}I_j\) (union disjointe) avec \(J\) un ensemble dénombrable et \(I_j\) des ensembles dénombrables pour tout \(j\), alors pour tout \(j\), \(\displaystyle\sum\limits_{k\in I_j}u_k\) converge absolument, et \[\sum\limits_{i\in I}u_i=\sum\limits_{j\in J}\left[\sum\limits_{k\in I_j}u_k\right].\]
Si \(I\) et \(J\) sont des ensembles dénombrables et si \(\displaystyle\sum\limits_{i\in I}u_i\) et \(\displaystyle\sum\limits_{j\in J}v_j\) sont absolument convergentes, alors \(\displaystyle\sum\limits_{(i,j)\in I\times J}\left(\vphantom{|_|}u_i\,v_j\right)\) aussi, et \[\left(\sum\limits_{i\in I}u_i\right)\left(\sum\limits_{j\in J}v_j\right)=\sum\limits_{(i,j)\in I\times J}\left(\vphantom{|_|}u_i\,v_j\right)\]
On prendra soin de justifier clairement, à l’aide de ces résultats, les calculs de sommes de séries qu’on sera amené à faire ci-dessous.
Soit \(p\) et \(q\) deux réels de l’intervalle \(\left]0,1\right[\).
Vérifier que : \(\forall(i,j)\in\mathbf{N}^2\), \(\mathbf{P}[(i,j)]=p\,q\,(1-p)^i\,(1-q)^j\) définit bien une probabilité \(\mathbf{P}\) sur \(\mathbf{N}^2\).
Déterminer les lois des variables aléatoires discrètes \(X\) et \(Y\) définies sur \(\left(\vphantom{|_|}\smash{\mathbf{N}^2,\mathscr{P}(\mathbf{N}^2),\mathbf{P}}\right)\) par \[\forall(i,j)\in\mathbf{N}^2,\quad X(i,j)=i\quad\hbox{et}\quad Y(i,j)=j\] et les relier à des lois connues.
Calculer \(\mathbf{P}(X=Y)\) et \(\mathbf{P}(X>Y)\).
Soit \(Z\) la variable aléatoire discrète définie par : \[\forall(i,j)\in\mathbf{N}^2,\quad Z(i,j)=\cases{\phantom{-}1&si $i$ et $j$ sont pairs,\cr-1&si $i$ et $j$ sont impairs,\cr\phantom{-}0&si $i$ et $j$ sont de parités différentes.}\] Montrer que \(Z\) admet une espérance et la calculer.
Soit \(D\) l’ensemble défini par \(D=\left\{\vphantom{|_|}(i,i),\ i\in\mathbf{N}\right\}\). Justifier que la série \(\displaystyle\sum\limits_{(i,i)\in D}Z(i,i)\,\mathbf{P}(i,i)\) est absolument convergente et calculer sa somme.
[probas/ex1078] Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires. On en tire successivement deux échantillons aléatoires de taille 3 et 5 respectivement, ceci sans remise. Soient \(X\) et \(Y\) le nombre de boules blanches dans chacun de ces échantillons ; calculer \(E(X/Y=i)\) pour \(i=1\), 2, 3, 4.
[probas/ex1078]
[probas/ex1741] Soit \((X,Y)\) un couple de variables aléatoires. Montrer que : \[[E(XY)]^2\leqslant E(X^2)\,E(Y^2).\] Cette inégalité est connue sous le nom d’inégalité de Cauchy-Schwarz.
[probas/ex1741]
[planches/ex5507] centrale PC 2019 On joue à pile ou face avec une pièce équilibrée. Après chaque lancer, on continue le jeu ou on s’arrête avec probabilité \(1/2\). Soit \(N\) la variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués, \(X\) (resp. \(Y\)) la variable aléatoire égale au nombre de pile (resp. face).
[planches/ex5507]
Déterminer la loi de \(N\) ainsi que son espérance.
Montrer que \(X\) est d’espérance finie et calculer son espérance.
[planches/ex8840] centrale PC 2022 Deux joueurs jouent à tirer l’un après l’autre dans leur propre urne des boules avec remises. Dans l’urne du joueur 1, il y a une proportion \(p_1\) de boules rouges. Dans l’urne du joueur 2, il a une proportion \(p_2\) de boules rouges. La partie se joue en plusieurs manches : à la première manche, le joueur 1 tire une boule dans son urne et la remet, à la deuxième manche, le joueur 2 tire une boule dans son urne et la remet et ainsi de suite… Le jeu s’arrête lorsqu’un joueur a tiré une boule rouge.
[planches/ex8840]
Montrer que le jeu s’arrête presque sûrement.
Proposer des proportions \(p_1\) et \(p_2\) de sorte que les joueurs aient autant de chance de gagner chacun.
Donner l’espérance du nombre de manches jouées.
[probas/ex2054] On effectue un tirage avec remise de deux nombres entre 1 et 5. Soit \(X=0\) si le premier nombre tiré est pair et \(X=1\) sinon ; et \(Y=1\) si le deuxième nombre est impair et \(Y=0\) sinon. On pose \(Z=X+Y\).
[probas/ex2054]
Donner la loi de \(Z\).
Calculer \(\mathbf{E}(Z)\), et vérifier que \(\mathbf{E}(Z)=\mathbf{E}(X)+\mathbf{E}(Y)\).
Calculer \(\mathbf{V}(X)\), \(\mathbf{V}(Y)\) et \(\mathbf{V}(Z)\), et comparer \(\mathbf{V}(Z)\) à \(\mathbf{V}(X)+\mathbf{V}(Y)\).
[planches/ex4748] polytechnique MP 2019 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(H\) et \(K\) dans \(\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\), \(R\) dans \(\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\) de trace 1. Pour \((s,t)\in\mathbf{R}^2\), soit \(f(s,t)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left(Re^{i(tH+sK)}\right)\).
[planches/ex4748]
On suppose que \(KH=HK\). Montrer qu’il existe deux variables aléatoires réelles \(X\) et \(Y\) telles que \(\forall(s,t)\in\mathbf{R}^2\), \(f(s,t)=\mathbf{E}\left(e^{i(tX+sY)}\right)\).
En considérant \(R=\pmatrix{1&0\cr0&0}\), \(H=\pmatrix{0&1\cr1&0}\), \(K=\pmatrix{1&0\cr0&-1}\), montrer que le résultat précédent ne subsiste pas si l’on omet l’hypothèse \(HK=KH\).
On revient à la situation de la première question. Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \(\ell_1\), … , \(\ell_n\) dans \(\mathbf{R}\), \(s_1\), … , \(s_n\), \(t_1\), … , \(t_n\) dans \(\mathbf{C}\), montrer que \(\displaystyle\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant n}\ell_i\overline\ell_j f(s_i-s_j,t_i-t_j)\geqslant 0\).
[probas/ex2282] Vrai ou faux ?
[probas/ex2282]
Si \(X\) et \(Y\) sont deux variables aléatoires possédant une espérance, alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(X,Y)\) possèdent également une espérance.
[planches/ex4250] escp B/L 2018 Toutes les variables aléatoires de cet exercice sont définies sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{A},\mathbf{P})\).
[planches/ex4250]
Une urne contient exclusivement des boules rouges et noires indiscernables au toucher.
La proportion de boules rouges est \(p\in\left]0,1\right[\). On effectue des tirages successifs d’une boule avec remise.
On commence par effectuer des tirages de boules jusqu’à obtention d’une boule rouge ; on note \(N\) le nombre de tirages qui ont été nécessaires pour obtenir cette première boule rouge.
On effectue ensuite \(N\) tirages successifs et on s’intéresse à \(X\) qui représente le nombre de boules rouges obtenues lors de ces \(N\) tirages.
Quelle est la loi de de la variable aléatoire \(N\) ?
Pour un entier \(n\geqslant 1\), quelle est la loi conditionnelle de \(X\) sachant \([N=n]\) ?
Déterminer la loi de \(X\). On pourra utiliser sans démonstration l’égalité : \[(*)\quad\forall k\in\mathbf{N},\quad\forall x\in\left]-1,1\right[,\quad{1\over(1-x)^{k+1}}=\sum\limits_{m=0}^{+ \infty}{m+k\choose k}x^m.\]
Soit un réel \(\lambda\in\left]0,1\right[\). On considère deux variables aléatoires \(U\) et \(V\) indépendantes, telles que \(U\) suit une loi de Bernouilli de paramètre \(\lambda\) et \(V\) suit une loi géométrique de paramètre \(\lambda\).
Déterminer la loi de la variable aléatoire \(UV\).
En déduire que \(X\) a même loi qu’un produit de deux variables aléatoires indépendantes, l’une suivant une loi de Bernoulli et l’autre une loi géométrique.
Exprimer \(\mathbf{E}(X)\) et \(\mathbf{V}(X)\) en fonction de \(\lambda\).
[concours/ex5019] escp S 2000 Si \(X\) est un ensemble, on note \({\cal P}(X)\) l’ensemble des parties de \(X\) et pour tout entier naturel \(k\), \({\cal P}_k(X)\) désigne l’ensemble des parties de \(X\) à \(k\) éléments.
[concours/ex5019]
Dans tout l’exercice, \(n\) est un entier naturel non nul et \(E_n\) désigne l’ensemble \(\{1,2,\ldots ,n\}\).
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers tels que \(1\leqslant a\leqslant n\) et \(1\leqslant b\leqslant n\). On tire au hasard une partie \(A\) dans \({\cal P}_a(E_n)\) et une partie \(B\) dans \({\cal P}_b(E_n)\). On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre d’éléments de \(A\cap B\) et \(Y\) la variable aléatoire égale au nombre d’éléments de \(A\cup B\).
Dans le cas particulier où \(n=7\), \(a=4\), \(b=2\), déterminer la loi de \(X\).
Dans le cas général, calculer l’espérance des variables \(X\) et \(Y\).
Sous la contrainte \(a+b=n\), quels sont les couples \((a,b)\) pour lesquels l’espérance de \(X\) est maximale ?
On tire au hasard une partie \(C\) dans \({\cal P}(E_n)\), puis on tire au hasard une partie \(D\) dans \({\cal P}(C)\). On note \(Z\) la variable aléatoire égale au cardinal de \(D\).
[probas/ex2052] Une pièce équilibrée est lancée trois fois. On note \(X\) la variable qui vaut 0 ou 1 suivant que face ou pile apparaisse au premier lancer, et \(Y\) est le nombre total de faces qui apparaissent. Soit \(Z=X+Y\).
[probas/ex2052]
[oraux/ex8323] polytechnique, espci PC 2015
[oraux/ex8323]
Soient \((x,y)\in(\mathbf{R}_+)^2\) et \((p,q)\in(\mathbf{R}_+^*)^2\) tel que \(1/p+1/q=1\). Montrer : \[x^{1/p}y^{1/q}\leqslant{x\over p}+{y\over q}.\]
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires positives. Montrer : \[\mathbf{E}(XY)\leqslant\mathbf{E}(X^p)^{1/p}\mathbf{E}(Y^q)^{1/q}.\]
[probas/ex0253] Une urne contient 7 boules rouges et 5 blanches. On choisit au hasard un nombre entier \(N\), \(1\leqslant N\leqslant 5\), puis on tire \(N\) boules de l’urne.
[probas/ex0253]
Calculer l’espérance et la variance du nombre de boules blanches obtenues :
le tirage ayant lieu avec remise ;
le tirage ayant lieu sans remise.
Sachant que l’on a obtenu 3 boules rouges, calculer \(E(N)\) :
[examen/ex0901] escp courts S 2021 Soit \(X\), \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi uniforme sur \([[1,n]]\), soit \(g\) une bijection de \([[1,n]]\) sur lui-même.
[examen/ex0901]
On pose \(T=g(X)\) et \(Z=\mathbf1_{[Y\leqslant g(X)]}\).
Quelle est la loi de \(T\) ? Montrer que \(n\mathbf{E}(Z)=\mathbf{E}(T)\).
Que dire de leurs variances ?
[concours/ex5183] escp S 2007 On dispose d’une pièce de monnaie donnant « pile » avec la probabilité \(p\) et « face » avec la probabilité \(q=1-p\) (avec \(p\in\left]0,1\right[\)).
[concours/ex5183]
On lance cette pièce, les lancers étant indépendants les uns des autres, et on note \(N\) le nombre aléatoire de lancers nécessaires à la première apparition de « pile » (on pose \(N=-1\) si « pile » n’apparaît jamais).
Quand « pile » apparaît au bout de \(n\) lancers, on effectue une série de \(n\) lancers avec cette même pièce et on note \(X\) le nombre de « pile » obtenus au cours de cette série.
Quelle est la loi de \(N\) ?
Calculer \(P(X=0)\) et \(P(X=1)\).
Pour tout entier naturel \(k\) non nul, exprimer \(P(X=k)\) sous forme d’une série.
Calculer la somme de cette série.
On rappelle que si \(|x|<1\) alors \(\displaystyle \sum\limits\limits_{k=r}^{+\infty}{k\choose r}x^{k-r}=\displaystyle{1\over(1-x)^{r+1}}\)
Déterminer l’espérance de \(X\) par deux méthodes : une première fois par calcul direct, une deuxième en utilisant la formule de l’espérance totale. Pourquoi ce résultat est-il raisonnable ?
[planches/ex2857] escp courts S 2018 Soient \(n\) et \(m\) deux entiers tels que \(n\geqslant m\geqslant 1\), et \(p\in\left]0,1\right[\). On considère deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) définies sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathscr{A},\mathbf{P})\), indépendantes, telles que \(X\hookrightarrow\mathscr{B}(n,p)\) et \(Y\hookrightarrow\mathscr{B}(m,p)\).
[planches/ex2857]
On pose \(D=X-Y\). Donner la loi de \(D\) ; calculer son espérance et sa variance.
[planches/ex6857] mines MP 2021 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres \(p\) et \(q\) dans \(\left]0,1\right[\). On pose \(Z_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(-n(X+Y))\). Justifier que \(Z_n\) admet une variance. Trouver un équivalent de \(\mathbf{V}(Z_n)\).
[planches/ex6857]
[probas/ex0008] Dans un casino, un croupier mélange trois cartes : As de cœur, Roi de cœur, Valet de pique et les présente face cachée sur une table. Un joueur choisit l’une de ces trois cartes au hasard. Si c’est un cœur, il gagne 1€ si c’est l’As, 2€ si c’est le Roi et le jeu recommence. Si c’est le Valet de pique, le jeu s’arrête.
[probas/ex0008]
On note \(N\) le nombre de cartes tirées avant l’apparition du Valet de pique et \(S\) la somme gagnée (en €).
Déterminer la loi de \(N\). Quelle est la probabilité que le Valet de pique ne soit jamais tiré ?
Déterminer la loi de \(S\) sachant \([N=n]\).
Quel prix minimum le casino soit-il faire payer une partie pour ne pas être perdant en moyenne ?
[probas/ex2091] Deux cartes sont tirées au hasard d’un jeu en contenant 5, numérotées 1, 1, 2, 2 et 3. Soit \(X\) la somme et \(Y\) le maximum des deux nombres obtenus. Calculer la loi, l’espérance, la variance et l’écart-type de \(X\), \(Y\), \(Z=X+Y\), \(W=XY\).
[probas/ex2091]
[probas/ex1467] La loi conjointe de deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) est donnée par le tableau : \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X\setminus Y&0&1&2\\\hline 0&1/18&1/9&1/6\\\hline 1&1/9&1/18&1/9\\\hline 2&1/6&1/6&1/18\\\hline\end{array}\] Calculer l’espérance conditionnelle de \(Y\) sachant \(X\), puis de \(X\) sachant \(Y\).
[probas/ex1467]
[probas/ex0010] Soit \((X,Y)\) un couple de V.A.R. à valeurs dans \(\mathbf{N}^2\) tel que : \[\forall(j,k)\in\mathbf{N}^2,\quad P([X=j]\cap[Y=k])={j+k\over e\cdot2^{j+k}j\,!\,k\,!}.\]
[probas/ex0010]
Vérifier que l’on a bien défini ainsi la loi de probabilité de \((X,Y)\).
Calculer \(E(2^{X+Y})\).
[concours/ex4849] escp S 2002 On considère les lancers successifs (indépendants) d’une pièce non pipée et on note \(T\) le nombre de Face précédant le premier Pile. On propose à un joueur la suite de paris suivante :
[concours/ex4849]
Pari \(P_0\): si \(T=0\), on perd \(1\) Euro; si \(T=1\), on gagne \(3\) Euros; sinon on ne gagne ni ne perd rien;
Pari \(P_1\): si \(T=1\), on perd \(4\) Euros; si \(T=2\), on gagne \(9\) Euros; sinon, on ne gagne ni ne perd rien;
Pari \(P_2\): si \(T=2\), on perd \(10\) Euros ; si \(T=3\), on gagne \(27\) Euros; sinon, on ne gagne ni ne perd rien;
Pari \(P_n\): si \(T=n\), on perd \(3^n+1\) Euros; si \(T=n+1\), on gagne \(3^{n+1}\) Euros; sinon, on ne gagne ni ne perd rien;
Chaque pari est-il favorable au joueur ?
Calculer l’espérance du gain \(\Gamma\) si le joueur parie sur la suite de tous les résultats.
[examen/ex0894] escp courts S 2021 Dans une urne contenant \(n\) boules numérotées de 1 à \(n\), on pioche une boule ; si elle porte le numéro \(k\), on remet alors \(k\) boules de numéro \(k\) dans l’urne. On note \(X\), le numéro de la première boule, \(Y\) celui de la deuxième.
[examen/ex0894]
Donner la loi de \(X\), puis la loi de \(Y\), en fonction de \(H_n=\displaystyle\sum\limits_{m=n+1}^{2n}{1\over m}\).
[oraux/ex8341] mines PSI 2015
[oraux/ex8341]
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires réelles telles que \(X^2\) et \(Y^2\) admettent une espérance. Montrer que \(XY\) admet une espérance.
Soient \(a\in[0,1]\) et \(X\) une variable aléatoire positive admettant une espérance. Montrer l’inégalité \((1-a)\mathbf{E}(X)\leqslant\mathbf{E}(X.\mathbf1_{X\geqslant a\mathbf{E}(X)})\).
[concours/ex4721] escp S 2003
[concours/ex4721]
Soit \(n\in \mathbf{N}^*\) et \(x\) un réel. Calculer \(\sum\limits\limits_{k=0}^n k \displaystyle{n\choose k}x^k\) en fonction de \(n\) et \(x\).
Un boulanger possède un ensemble de pochettes surprise. Lorsqu’on en achète une on peut :
soit gagner une montre avec une probabilité de \(m\),
soit gagner un euro avec une probabilité de \(e\),
soit ne rien gagner.
Un client achète \(n\) pochettes. On désigne par \(M\) la variable aléatoire égale au nombre de montres gagnées et \(E\) la variable aléatoire égale au nombre d’euros gagnés.
Déterminer la loi conjointe du couple \((M,E)\).
On suppose que \(k\) pochettes ont rapporté quelque chose.
Soit \(T_k\) la variable aléatoire égale à la proportion de pochettes ayant rapporté une montre par rapport au nombre de pochettes ayant rapporté quelque chose.
Déterminer la loi de \(T_k\).
Calculer l’espérance \(E(T_k)\) en fonction de \(m\) et \(e\).
[concours/ex4643] escp S 2004
[concours/ex4643]
Soient \(X\) une variable aléatoire finie ou discrète qui possède une espérance et \(Y\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\left\{ 1,\ldots,p\right\}\). On suppose que \(P\left( Y=i\right) >0\) pour tout \(i\in \left\{ 1,\ldots ,p\right\}\).
Soit \(i\in \left\{ 1,\ldots ,p\right\}\). Montrer que la loi conditionnelle de \(X\), conditionnée par l’événement \((Y=i)\) admet une espérance qu’on notera \(E(X/Y=i)\).
Prouver la formule suivante : \(E(X)=\sum\limits\limits_{i=1}^{p}E(X/ Y=i)P\left( Y=i\right)\).
Soit \(n\) un entier non nul. Montrer que l’on a : \(\sum\limits\limits_{k=1}^{n}k^{2}=\displaystyle{n(n+1)(2n+1)\over6}\).
Un technicien assure la maintenance de \(n\) machines-outils de même type qui sont alignées. Deux machines consécutives sont distantes d’une longueur \(\ell\). De temps en temps les machines outils s’arrêtent avec la même probabilité et indépendamment les unes des autres et nécessitent un réglage. Après le réglage d’une machine-outil le technicien reste devant celle-ci, jusqu’à ce qu’une autre machine-outil s’arrête (si c’est la même machine qui retombe en panne, il reste à sa place). La variable aléatoire \(X\) est la distance que parcourt le technicien entre deux réglages. On note \(Y\) la variable aléatoire qui prend pour valeur le numéro de la machine devant laquelle se trouve le technicien.
Calculer l’espérance de \(X\).
Déterminer la variance de \(X\).
[probas/ex0143] On dispose d’un dé cubique normal, d’une urne \(A\) contenant 2 boules blanches et 4 noires et d’une urne \(B\) contenant 3 boules blanches et 4 rouges. Les tirages ont lieu sans remise. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre obtenu sur le dé. Si \(X\) est divisible par 3, on tire deux boules de l’urne \(A\). Sinon, on tire \(X\) boules de l’urne \(B\). Soit \(Y\) le nombre de boules blanches obtenues.
[probas/ex0143]
Déterminer la loi de \(Y\), son espérance mathématique et sa variance.
[concours/ex4746] escp S 2003
[concours/ex4746]
Pour \(m\geqslant 1\), on considère une série statistique \((M_i)_{1\leqslant i\leqslant m}\) à deux variables. La première variable est notée \(Z\), la seconde \(T\) et on écrit \(M_i(z_i,t_i)\) pour tout \(i\) de \(\{1,\ldots,m\}\).
Pour les applications numériques on prend \(\overline{Z}=\overline{T}=10\), \(V(Z)=V(T)=9\) et \({\rm cov}(Z,T)=4\) et on pose \(A=\left(\begin{array}{cc}9&4\\ 4&9\end{array}\right)\).
On identifie les éléments de \(\mathbf{R}^2\) et de \({\cal M}_{2,1}(\mathbf{R})\).
Diagonaliser \(A\) dans une base orthonormale \((e_1,e_2)\) de \(\mathbf{R}^2\) pour le produit scalaire usuel.
Déterminer une matrice \(P\) de \({\cal M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(P^{-1}={}^tP\) et \(^tPAP\) soit diagonale.
Pour tout \((x,y)\) de \(\mathbf{R}^2\) on pose \(f(x,y)= \left(\begin{array}{cc}x&y\end{array}\right)\times A\times \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\).
Montrer que l’application \((x,y)\mapsto \displaystyle{f(x,y)\over x^2+y^2}\) admet un minimum et un maximum sur \(E=\mathbf{R}^2\setminus\{(0,0)\}\), extremums que l’on déterminera (on pourra travailler dans la base \((e_1,e_2)\)).
En déduire les \((\alpha,\beta)\) de \(\mathbf{R}^2\) tels que \(\alpha^2+\beta^2=1\) qui donnent une série statistique \(\alpha\,Z+\beta\,T\) de variance maximale ; même question pour \(\alpha Z+\beta T\) de variance minimale. Déterminer les extremums.
Si l’on appelle \(u_1=(\alpha_1,\beta_1)\) un couple qui donne une série statistique de variance minimale, déterminer une équation de la droite passant par le point moyen de la série et dirigée par ce vecteur.
Montrer que cette droite est celle qui réalise le minimum de la somme des carrés des distances des points \(M_i\) à une droite \(\Delta\) passant par le point moyen \(\Omega(\overline Z,\overline T)\), d’équation \(\alpha\,x+\beta\,y+c=0\) dans le plan \(\mathbf{R}^2\) muni de sa structure euclidienne canonique (on pourra utiliser la formule \(d(M_i,\Delta)=\displaystyle{|\alpha\,z_i+\beta\,t_i+c|\over\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}\) qui donne la distance d’un point \(M_i\) à la droite \(\Delta\) d’équation \(\alpha\,x+\beta\,y+c=0\)).
Qu’en est-il si l’on n’impose plus à la droite de passer par \(\Omega\) ?
Déterminer les \((\alpha,\beta)\) tels que \(\alpha\geqslant 0\), \(\beta\geqslant 0\) et \(\alpha+\beta=1\) pour lesquels la série statistique \(\alpha Z+\beta T\) admet une variance maximale que l’on déterminera ; même question pour \(\alpha Z+\beta T\) de variance minimale.
[probas/ex1090] Des ampoules de type \(i\) fonctionnent pendant une durée aléatoire de moyenne \(\mu_i\) et d’écart-type \(\sigma_i\), \(i=1\), 2. Une ampoule choisie au hasard dans une boîte d’ampoules est de type 1 avec une probabilité \(p\) et de type 2 avec une probabilité \(1-p\). Soit \(X\) la durée de vie de cette ampoule. Trouver \(E(X)\) et \(V(X)\).
[probas/ex1090]
[planches/ex6846] mines MP 2021 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \((\Omega,\mathscr{T},\mathbf{P})\) un espace probabilité, \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes définies sur \((\Omega,\mathscr{T},\mathbf{P})\) suivant la loi uniforme sur \(\{1,2,\ldots,n\}\), \(m\in\{1,\ldots,n\}\). Soit \(Z\) la variable aléatoire telle que \(Z(\omega)=X(\omega)\) si \(Y(\omega)\leqslant m\) et \(Z(\omega)=Y(\omega)\) sinon.
[planches/ex6846]
Déterminer la loi de \(Z\). Calculer \(\mathbf{E}(Z)\).
Déterminer les entiers \(m\) qui maximisent l’espérance de \(Z\).
[probas/ex1059] Une bouteille contient initialement \(m\) grandes pilules et \(n\) petites pilules. Chaque jour un patient choisit au hasard une des pilules. S’il choisit une petite pilule, il l’avale. S’il en choisit une grande, il la coupe en deux, il en remet une part (considérée maintenant comme une petite pilule) dans la bouteille et avale l’autre.
[probas/ex1059]
Soit \(X\) le nombre de petites pilules dans la bouteille après que la dernière grande pilule a été choisie et que sa petite moitié a été replacée. Trouver \(E(X)\).
Indication : on pourra définir \(n+m\) variables indicatrices, une pour chaque petite pilule présente initialement et une pour chacune des \(m\) petites pilules crées en coupant une grande.
Soit \(Y\) le jour où la dernière grande pilule est choisie. Trouver \(E(Y)\).
Indication : on pourra chercher une relation entre \(X\) et \(Y\).
[oraux/ex4776] escp S 2012 Une urne contient \(n\) boules numérotées de \(1\) à \(n\) et \(k\) boules bleues non numérotées. Les boules sont tirées avec remise jusqu’à ce qu’une boule bleue soit tirée. Au cours de ces tirages, on définit le nombre \(R\) de répétitions de la manière suivante :
[oraux/ex4776]
au début, \(R =0\). Ensuite, on ajoute \(1\) à \(R\) dès que l’on obtient une boule numérotée qui avait été déjà tirée précédemment.
Déterminer les probabilités des événements suivants :
\(A_1=\) « la première boule tirée est la boule numéro \(1\) ».
\(A_2=\) « la première boule tirée est une boule portant un numéro strictement supérieur à \(1\) ».
\(A_3=\) « la première boule tirée est une boule bleue ».
On note \(A_0\) l’événement « la boule numéro \(1\) n’est jamais tirée lors du jeu ». En utilisant la formule des probabilités totales avec les événements précédents, montrer que \(P(A_0) = \displaystyle{k\over k+1}\).
On note \(X\) le nombre de fois où l’on a tiré la boule \(1\) au cours du jeu. En utilisant un raisonnement analogue à celui de la question précédente, montrer que \(E(X) = \displaystyle{1\over k}\).
On définit la variable aléatoire \(Y\) par : \[\cases{\hbox{Si $X\geqslant 1$, alors $Y=X-1$}\cr \hbox{Si $X=0$, alors $Y=0$}\cr}\] (\(Y\) est donc le nombre de répétitions de la boule numérotée \(1\).)
Montrer que \(E(Y) =\sum\limits_{m\geqslant 1} (m-1) P(X = m)\) puis que \(E(Y) = \displaystyle{1\over k(k+1)}\).
Soit \(r\) un entier naturel. On recherche la valeur minimale de \(k\) (en fonction de \(n\) et \(r\)) de manière à ce que le nombre moyen \(t\) de répétitions soit inférieur ou égal à \(r\).
Montrer que \(t = n E(Y)\).
En déduire que la valeur minimale recherchée est \(k_0 = \left\lfloor{\sqrt{\displaystyle{n\over r} + {1\over4}} - \displaystyle{1\over2}}\right\rfloor\).
[probas/ex1099] On lance deux dés. Soit \(X\) la valeur du premier dé et \(Y\) la somme des deux valeurs. Calculer la fonction génératrice des moments conjoints de \(X\) et \(Y\).
[probas/ex1099]
[concours/ex4639] escp S 2004 On considère une variable aléatoire \(X\) telle que : \(X(\Omega)=\mathbf{N}\) et \(\forall k\in\mathbf{N}\), \(P(X=k)=p.q^k\), où \(p\) est un réel fixé de \(\left]0,1\right[\) et \(q=1-p\).
[concours/ex4639]
Montrer que \(X\) admet des moments de tous ordres et calculer \(E(X)\) et \(V(X)\).
On pose \(Y=\displaystyle{1\over X+1}\).
Montrer que pour \(t\in\left[0,1\right[\) et \(n\in\mathbf{N}\) : \(\sum\limits\limits_{k=1}^{n+1}\displaystyle{t^k\over k}+\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t)=\displaystyle\int_0^t{x^{n+1}\over 1-x}\,dx\).
En déduire que pour \(t\in\left[0,1\right[\), \(\sum\limits\limits_{k=1}^{+\infty}\displaystyle{t^k\over k}=-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t)\).
Montrer que \(Y\) admet une espérance et calculer \(E(Y)\).
Soit \(Z\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{N}\) telle que, pour tout \(k\) de \(\mathbf{N}\), la loi conditionnelle de \(Z\) conditionnée par la réalisation de l’événement \((X=k)\) est uniforme sur \([[0;k]]\).
Déterminer la loi de \(Z\) (on laissera les résultats sous forme de sommes).
Montrer que \(Z\) admet une espérance.
[oraux/ex6003] hec courts S 2014 Soit \(\mathscr{E}\) un ensemble de variables aléatoires discrètes centrées définies sur un même espace probabilisé et admettant une variance.
[oraux/ex6003]
Justifier l’existence de \(V_0=\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits\{V(X),\ X\in\mathscr{E}\}\).
On suppose que pour tout \((X_1,X_2)\in\mathscr{E}^2\), on a \(\displaystyle{1\over2}(X_1+X_2)\in\mathscr{E}\).
Soit \((X_1,X_2)\in\mathscr{E}^2\) avec \(V(X_1)=V(X_2)=V_0\). Montrer que \(X_1=X_2\) presque sûrement.
[planches/ex5660] ccp PSI 2019 On considère \(2n\) lapins sélectionnés aléatoirement dans un enclos à lapins. La probabilité qu’un lapin soit mâle est \(1/2\). On note \(M\) la variable aléatoire égale au nombre de lapins mâles obtenus et \(C\) la variable aléatoire égale au le nombre de couples possibles (un lapin mâle \(+\) un lapin femelle).
[planches/ex5660]
Donner la loi de \(M\).
Donner une relation entre \(C\) et \(M\).
Donner la loi de \(C\).
Calculer l’espérance de \(C\).
[probas/ex0019] Soient \(X\) et \(Y\) deux V.A.R. discrètes telles que : \[\left\{\begin{array}{l} E(X)=E(Y)=m\ (m\neq0),\\V(X)=\sigma_1^2,\ V(Y)=\sigma_2^2,\\ \mathop{\mathchoice{\hbox{cov}}{\hbox{cov}}{\mathrm{cov}}{\mathrm{cov}}}\nolimits(X,Y)=\mu,\ V(X-Y)\neq0.\end{array}\right.\] Soit \(Z=aX+bY\). Déterminer \(a\) et \(b\) pour que \(E(Z)=m\) et que \(V(Z)\) soit minimale.
[probas/ex0019]
[oraux/ex8696] ensam PSI 2016 Soient \(X_1\) et \(X_2\) deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi géométrique de paramètre \(p\). On pose \(q=1-p\) et \(Y=|X_1-X_2|\).
[oraux/ex8696]
Calculer \(\mathbf{P}(Y=0)\). Soit \(n\in\mathbf{N}\). Montrer que \(\mathbf{P}(X_1-X_2=n)=\displaystyle{pq^n\over1+q}\). En déduire la loi de \(Y\).
Montrer que \(\mathbf{E}((X_1-X_2)^2)=2\mathbf{V}(X_1)\). En déduire que \(Y\) admet une variance et la calculer.
[probas/ex1414] Un couple de variables aléatoires discrètes a pour loi : \[\mathbf{P}(X=x,Y=y)=\displaystyle{2x+y\over42}\hbox{ pour }x\in[[0,2]]\hbox{ et }y\in[[0,3]],\quad0\hbox{ ailleurs.}\] Calculer l’espérance conditionnelle de \(Y\) sachant \(X=2\).
[probas/ex1414]
[planches/ex8260] mines PSI 2022 Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes de même loi géométrique de paramètre \(p\).
[planches/ex8260]
Déterminer la loi de la variable \(T=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\) ; préciser son espérance et sa fonction génératrice.
Montrer que la variable \(\displaystyle{1\over T(T+1)}\) admet une espérance finie puis la calculer.
[planches/ex4055] ccp MP 2018 Soient \(n\in\mathbf{N}\), \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires à valeurs dans \(\{1,\ldots,n+1\}\) telles que, pour tout \((i,j)\in\{1,\ldots,n+1\}^2\), \(\mathbf{P}(X=i,Y=j)=a_{i,j}=\lambda\displaystyle{n\choose i-1}{n\choose j-1}\), où \(\lambda\in\mathbf{R}_+^*\).
[planches/ex4055]
Montrer que \(\lambda=\displaystyle{1\over4^n}\).
Les variables \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ?
Trouver à l’aide de la variable aléatoire \(X-1\) l’espérance et la variance de \(X\).
On note \(B=(b_{i,j})_{(i,j)\in[[1,n+1]]^2}\in\mathscr{M}_{n+1}(\mathbf{R})\) avec \(b_{i,j}=\mathbf{P}(Y=i|X=j)\).
Calculer \(B^2\) .
Déterminer les valeurs propres de \(B\). La matrice \(B\) est-elle diagonalisable ? Déterminer la dimension des sous-espaces propres associés.
[concours/ex5134] escp B/L 1999 Une urne contient trois jetons numérotés 1, 2, 3 indiscernables au toucher. On effectue une suite de tirages d’un jeton de cette urne, en replaçant à chaque fois le jeton obtenu, avant le tirage suivant.
[concours/ex5134]
On note \(Y\) le nombre aléatoire de tirages juste nécessaire pour obtenir, pour la première fois, deux numéros différents. Déterminer la loi de \(Y\) et son espérance.
On note \(Z\) le nombre aléatoire de tirages juste nécessaire pour obtenir, pour la première fois, les trois numéros.
Déterminer la loi du couple \((Z,Y)\).
Déterminer la loi de \(Z\) et calculer son espérance.
[probas/ex2300] Vrai ou faux ?
[probas/ex2300]
Si \(X\) et \(Y\) sont deux variables possédant une variance et si \(X\leqslant Y\), alors on a : \(\mathbf{V}(X)\leqslant\mathbf{V}(Y)\).
[concours/ex4916] escp S 2001 Soit \(n\) un entier naturel non nul. Une boîte contient \((2n+1)\) jetons bicolores (une face est blanche, l’autre est noire). Les jetons sont numérotés de \(1\) à \(2n+1\) sur leur face blanche, les faces noires ne portant pas de numéro.
[concours/ex4916]
On lance simultanément tous les jetons et on observe leurs faces supérieures.
Une et une seulement des deux couleurs apparaît un nombre impair de fois. Soit \(X\) la variable aléatoire associée à ce nombre.
Calculer son espérance et sa variance.
Suite au lancer, on ramasse les jetons de la couleur apparaissant un nombre impair de fois et on note les numéros de leur face blanche. Soit \(Y\) la variable aléatoire représentant le plus petit de ces nombres.
Soit \(k\in[[0,n]]\), déterminer la loi conditionnelle de \(Y\), conditionnée par l’événement \((X=2k+1)\).
En déduire la loi de \(Y\). Calculer son espérance.
[probas/ex0169] hec 1995 On considère un entier naturel \(n\) non nul, un réel \(p\) de \(\left]0,1\right[\) ; \(X\) est une variable aléatoire avec \(X\hookrightarrow\mathscr{B}(n,p)\).
[probas/ex0169]
Les valeurs prises par \(X\) sont affichées par un compteur défaillant ; lorsqu’il doit afficher 0, il affiche en fait au hasard un nombre compris entre 1 et \(n\) ; sinon il affiche le bon résultat.
Soit \(Y\) la variable aléatoire correspondant au numéro affiché par le compteur. Donner la loi de \(Y\) et \(E(Y)\).
[probas/ex1744] La loi conjointe d’un couple de variables aléatoires \((X,Y)\) est donnée par la formule : \[\mathbf{P}(X=x_i,Y=y_j)=\cases{ {1\over18}(2x_i+y_j)&si $x_i=1$, 2, $y_j=1$, 2,\cr0&sinon.\cr}\] Calculer la variance conditionnelle de \(Y\) sachant \(x_i=2\).
[probas/ex1744]
[planches/ex2834] ccp PC 2017 Soit \(p\in\left]0,1\right[\). On pose \(q=1-p\). On considère une variable aléatoire \(X\), à valeurs dans \(\mathbf{N}\), suivant la loi géométrique de paramètre \(p\).
[planches/ex2834]
Quelle est la loi de \(X+1\) ?
Soit \(Y\) une variable aléatoire suivant elle aussi la loi géométrique de paramètre \(p\) et indépendante de \(X\). On pose \(Z=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\).
Montrer que \(\mathbf{P}(X\geqslant n)=q^n\). En déduire \(\mathbf{P}(Z\geqslant n)\), puis la loi de \(Z\) et son espérance.
Soit \(r\in\left]0,1\right[\). On tire à pile ou face avec la probabilité \(r\) de tirer pile. On note \(T\) la variable aléatoire « nombre de faces avant le premier pile » et, pour chaque \(i\geqslant 1\), \(E_i\) l’événement « tirer face au \(i\)-ième lancer ».
Exprimer \(T=k\) à l’aide des \(E_i\) et en déduire \(\mathbf{P}(T=k)\), ainsi que \(\mathbf{E}(T)\).
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans \(\mathbf{N}\) suivant la même loi. On pose \(Z=\mathop{\mathchoice{\hbox{min}}{\hbox{min}}{\mathrm{min}}{\mathrm{min}}}\limits(X,Y)\). On note, pour tout \(k\in\mathbf{N}\), \(p_k=\mathbf{P}(X=k)\).
Calculer \(\mathbf{P}(Z=i,|X-Y|=k)\), puis \(\mathbf{P}(|X-Y|=k)\).
[probas/ex1842] Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi binomiale de paramètres \((n,p)\) et \((m,p)\) respectivement. Soit \(Z=X+Y\) ; à l’aide de la série génératrice des moments de \(Z\), déterminer la loi de \(Z\).
[probas/ex1842]
[planches/ex9392] ens PC 2023 Soient \(X\), \(Y\) deux variables aléatoires à valeurs dans \(\{1,2,3\}\) telles que \(Y\) suive la loi uniforme sur \(\{1,2,3\}\) et \(\mathbf{P}(X=1)=\displaystyle\frac{1}{2}\), \(\mathbf{P}(X=2)=\mathbf{P}(X=3)=\displaystyle\frac{1}{4}\).
[planches/ex9392]
Quelle est la valeur minimale de \(\mathbf{E}((X-Y)^2)\) ?
[probas/ex2320] Vrai ou faux ?
[probas/ex2320]
Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires admettant une variance.
Alors \(\mathbf{V}(X-Y)=\mathbf{V}(X)-\mathbf{V}(Y)-2\mathop{\mathchoice{\hbox{cov}}{\hbox{cov}}{\mathrm{cov}}{\mathrm{cov}}}\nolimits(X,Y)\).
[probas/ex2316] Vrai ou faux ?
[probas/ex2316]
Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires ayant même loi et admettant une variance. Alors \(\mathbf{E}(XY)=\mathbf{E}(X^2)\).
[oraux/ex6074] escp S 2014 Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé \((\Omega, \mathscr{A}, P)\) admettant un moment d’ordre \(2\).
[oraux/ex6074]
Déterminer la valeur qui minimise l’application définie sur \(\mathbf{R}\) par \(x\mapsto E((X-x)^2)\), où \(E\) désigne l’opérateur espérance.
Dans la suite de l’exercice, on considère un ensemble fini \(\Omega=\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}\) et \((\Omega, \mathscr{P}(\Omega), P)\) un espace probabilisé de support \(\Omega\).
Soit \(X\) une variable aléatoire définie sur cet espace. Pour tout réel \(t\), on définit l’application \(P_t~: \Omega \rightarrow \mathbf{R}\) par : \[\hbox{pour tout }A\in\mathscr{P}(\Omega),\ P_t(A)={E({\bf 1}_A\, e^{tX})\over E(e^{tX})}\] où \({\bf 1}_A\) est la fonction indicatrice de l’ensemble \(A\).
Montrer que l’on définit ainsi une probabilité sur \(\Omega\) et que pour tout \(\omega\in \Omega\) : \[P_t(\omega)={P(\omega)e^{tX(\omega)}\over E(e^{tX})}\]
Soit \(Y\) une variable aléatoire définie sur \((\Omega,\mathscr{P}(\Omega),P_t)\). Calculer \(E_t(Y)\).
Que peut-on dire de \(E_t(Y)\) si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes ?
Dans cette question \(\Omega=\{0, 1, \ldots, n\}\) et \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\). On pose \(Y=2^X\). Calculer \(E_t(Y)\).
On revient au cas général. À l’aide de la question préliminaire, montrer que : \[E_t((X-E_t(X))^2) \leqslant{1\over4}\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{\omega\in\Omega}X(\omega)- \mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits_{\omega \in \Omega} X(\omega)\right)^2\]
[planches/ex1921] polytechnique, espci PC 2017 Une machine produit deux types de pièces : le type \(A\) avec probabilité \(a\), le type \(B\) avec probabilité \(b=1-a\). Chaque pièce est défectueuse avec une probabilité \(p\), indépendante du type, et indépendamment d’une pièce à l’autre. La machine s’arrête dès qu’elle a produit une pièce du type \(A\).
[planches/ex1921]
Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses au moment de l’arrêt de la machine. Déterminer \(\mathbf{E}(X)\) sans déterminer complètement la loi de \(X\). Commenter.
Déterminer la loi de \(X\) et retrouver le résultat précédent.
[oraux/ex8395] ensam PSI 2015 Soit \(Z\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{Z}\), et pour \(t\in\mathbf{R}\), \(H_Z(t)=\mathbf{P}(Z\geqslant t)\).
[oraux/ex8395]
Montrer que \(H_Z(k-1)-H_Z(k)=\mathbf{P}(Z=k-1)\).
Tracer \(H_Z\) pour \(\mathbf{P}(Z=0)=1/6\), \(\mathbf{P}(Z=1)=1/3\) et \(\mathbf{P}(Z=3)=1/2\).
Si \(q\) est la valeur maximale de \(Z\), montrer par récurrence décroissante que : \[\sum\limits_{k=n}^qH_Z(k)=\sum\limits_{j=n}^qj\mathbf{P}(X=j)-(n-1)H_Z(n).\]
Si \(X\) et \(Y\) sont à valeurs dans \(\mathbf{N}\), montrer que : \(H_X\geqslant H_Y\Longrightarrow\mathbf{E}(X)\geqslant\mathbf{E}(Y)\).
[probas/ex1470] La loi conjointe de deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) est donnée par le tableau : \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X\setminus Y&0&1&2\\\hline 0&1/18&1/9&1/6\\\hline 1&1/9&1/18&1/9\\\hline 2&1/6&1/6&1/18\\\hline\end{array}\] Calculer la variance conditionnelle de \(Y\) sachant \(X\), puis de \(X\) sachant \(Y\).
[probas/ex1470]
[probas/ex0241] Une urne contient \(N\) boules numérotées de 1 à \(N\). On effectue \(N\) tirages avec remise et on note \(Z_n\) le nombre de numéros non encore sortis à l’issue du \(n\)-ième tirage.
[probas/ex0241]
Déterminer la loi de \(Z_1\).
Calculer \(E(Z_n)\).
Déterminer la probabilité d’obtenir au \(n\)-ième tirage un numéro qui n’est pas encore sorti.
[probas/ex1077] On lance plusieurs fois un dé équilibré. Soient \(X\) et \(Y\) le nombre de jets nécessaires pour obtenir un 6 et un 5, respectivement. Trouver :
[probas/ex1077]
\(E(X)\) ;
\(E(X/Y=1)\) ;
\(E(X/Y=5)\).
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