Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex9441] mines PSI 2013 Soient \(E\) un espace euclidien de dimension 3 rapporté à un repère orthonormé, \(P\) et \(S\) ayant respectivement pour équation : \(x+y+z=1\) et \(x^2+y^2+z^2-4x-6y=0\). Déterminer l’ensemble \(P\cap S\).

[concours/ex0478] centrale MP 1996 Soit \(\Sigma\) la surface d’équation \((x^2+y^2)z^2=a^2y^2\), \(a>0\) fixé.

1. Déterminer les droites incluses dans \(\Sigma\).

2. Montrer que toutes ces droites sont tangentes à deux sphères.

3. Déterminer les courbes tracées sur \(\Sigma\) orthogonales à ces droites.

[fct.R2/ex0460] Identifier la surface \(9x^2-y^2+16z^2=144\).

[concours/ex4032] polytechnique M 1990 Soit \(\Phi\) la forme quadratique sur \(\mathbf{R}^3\) définie par : \((x,y,t)\mapsto x^2+y^2-t^2\). Soit \[H=\left\{X\in\mathbf{R}^3\mid\Phi(X)=-1\right\}.\] Si \(P\in H\), \(T_H(P)\) est le plan vectoriel tangent en \(P\) à \(H\), et \(\Phi_P\) la restriction de \(\Phi\) à \(T_H(P)\).

Soit \(S=(0,0,-1)\) ; l’application \(\psi:H\setminus\{S\}\rightarrow\mathbf{R}^2\) est définie par : \(\psi(P)\) est l’intersection avec \(t=0\) de la droite \((SP)\).

Etudier \(\Phi_P\). Montrer que, si deux courbes de \(H\) de classe \(C^\infty\) se croisent en \(P\) selon l’angle \(\alpha\), il en est de même en \(\psi(P)\) de leurs images par \(\psi\).

[oraux/ex1692] centrale PC 2009 Soit \(\mathscr{C}\) la courbe définie par : \(x(t)=a\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^3t\), \(y(t)=a\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^3t\), \(z(t)=a\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(2t)\). On note \(\mathscr{S}\) la surface de révolution autour de \((Oz)\) générée par \(\mathscr{C}\).

1. Donner une équation d’une méridienne de \(\mathscr{S}\).

2. Montrer que \(\mathscr{S}\) est contenue dans une quadrique que l’on précisera.