Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex1841] mines PC 2008 On munit \(\mathbf{R}^3\) de sa structure affine canonique. Soient \((\alpha,\beta)\in(\mathbf{R}_+^*)^2\), et : \[\mathscr{D}_1=\left\{\vphantom{|_|}\smash{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\ ;\ y=\alpha z,\ z=\beta}\right\},\quad\mathscr{D}_2=\left\{\vphantom{|_|}\smash{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\ ;\ y=-\alpha z,\ z=-\beta}\right\}.\] Déterminer le lieu des points équidistants de \(\mathscr{D}_1\) et de \(\mathscr{D}_2\).

[oraux/ex3053] centrale MP 2009 Déterminer le lieu des points équidistants de deux droites non coplanaires de \(\mathbf{R}^3\).

[oraux/ex1845] centrale MP 2008 Dans \(\mathbf{R}^3\) affine euclidien, soient \(D\) l’axe \((Oz)\) et \(D'\) la droite passant par \(A(a,0,0)\) avec \(a>0\) et dirigée par le vecteur de coordonnées \((1,1,1)\). Trouver le lieu des points équidistants de ces deux droites.

[oraux/ex4004] mines PSI 2011 Nature de la quadrique d’équation \(2xy+2yz+2xz=1\) ?

[oraux/ex5883] ccp PSI 2012 On considère la surface \((S)\) d’équation \(x^2+y^2-z^2=1\).

1. Montrer qu’il n’existe pas de droite parallèle à \((xOy)\) incluse dans \((S)\).

2. Soit \((D)\) la droite définie par \(x=az+b\) et \(y=cz+d\). Montrer que \((D)\) est incluse dans \((S)\) si, et seulement si, \(\left(\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right)\) appartient à \({\cal O}_2(\mathbf{R})\).

3. Montrer que par tout point de \((S)\) passent deux droites incluses dans \((S)\).

[oraux/ex1857] mines PSI 2009 Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la surface d’équation : \[(a^2+b^2)x^2+(a^2+c^2)y^2+(b^2+c^2)z^2-2abxy-2acxz-2bcyz=d.\]

[oraux/ex4399] centrale PC 2011 Soient, pour \(a\in\mathbf{R}\), \(S_a=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^2,\ xy+xz+yz=a\}\) et, pour \(\lambda\in\mathbf{R}\), \(\Pi_\lambda=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\ x+y+z=\lambda\}\).

1. Déterminer \(\Pi_\lambda\cap S_a\). Déterminer la distance de \(O\) à \(\Pi_\lambda\).

2. Montrer que \(S_a\) est une surface de révolution d’axe à préciser. Donner son équation dans une base orthonormée bien choisie.

3. Montrer que \(S_0\) est réunion de droites.

4. Si \(a\neq0\), montrer que \(S_a\) se déduit de \(S_{-1}\) ou de \(S_{-1}\) par une homothétie.

[concours/ex2547] centrale M 1995 Soient \(D\) une droite, \(P\) un plan et \(k>0\). Ensemble des points \(M\) de l’espace tels que \(d(M,D)=k\,d(M,P)\).

[oraux/ex4409] centrale PC 2011 (avec Maple)

Soit \(\mathscr{S}\) la surface d’équation \(x^2+y^2+4z^2=1\).

1. Préciser la nature de \(\mathscr{S}\). En donner un paramétrage. Représenter \(\mathscr{S}\).

2. Déterminer un vecteur normal à \(\mathscr{S}\) en \(M(x,y,z)\). Donner une condition nécessaire et suffisante pour que \(\vec u(1,2,1)\) soit tangent à \(\mathscr{S}\) en \(M\). On note \(\Gamma\) l’ensemble des points \(M\) en lesquels \(\vec u\) est tangent à \(\mathscr{S}\).

3. Soit \(P\) le plan d’équation \(x+2y+4z=0\). Déterminer une base orthonormée directe de \(\mathbf{R}^3\) dont les deux premiers vecteurs appartiennent à \(P\). Donner l’équation de \(\Gamma\) dans cette base.

[concours/ex4191] mines M 1990 Déterminer, selon \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\), la nature de la surface d’équation : \[(b^2+c^2)x^2+(c^2+a^2)y^2+(a^2+b^2)z^2-2abxy-2bcyz-2cazx=0.\]

[oraux/ex4224] centrale MP 2011 (avec Maple)

Déterminer une équation cartésienne de l’ensemble des points \(M\) équidistants du plan d’équation \(x+y+z=0\) et de la droite d’équations \(x=z\), \(y=0\). Quelle est la nature de cet ensemble ? Le représenter.

[oraux/ex1820] ccp PSI 2006 Soit \((S)\) la surface d’équation \(x^2+y^2-z^2=1\). Montrer qu’aucune droite parallèle au plan \((xOy)\) n’est contenue dans \((S)\). Soit \(D\) la droite définie par \(x=az+b\) et \(y=cz+d\). Montrer que \(D\) est incluse dans \((S)\) si et seulement si la matrice \(\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\) est orthogonale.

[oraux/ex4005] mines PSI 2011 Nature de la surface d’équation \(x^2+y^2+4z^2=1\) ? Équation des plans tangents ?

[oraux/ex1782] mines PC 2005 Dans l’espace affine euclidien \(\mathbf{R}^3\), trouver le lieu des points équidistants d’une droite et d’un plan.

[oraux/ex1873] centrale PC 2009 Soit \(\mathscr{S}\) la surface d’équation : \(x^2+y^2+4z^2=1\).

1. Reconnaître \(\mathscr{S}\). La tracer puis en donner un paramétrage.

2. Soit \(u=(1,1,1)\). Existe-t-il un vecteur normal à la surface et orthogonal à \(u\) ?

3. Soit \(\mathscr{P}\) le plan d’équation \(x+2y+4z=0\). Donner une base orthonormale adaptée à \(\mathscr{P}\).

4. Donner une équation de \(\mathscr{S}\) dans la base obtenue à la question précédente.

[oraux/ex1879] mines MP 2010

1. Reconnaître la quadrique \(Q\) d’équation \(x^2+y^2-z^2=1\).

2. Déterminer les droites tracées sur \(Q\).

[oraux/ex1812] mines PC 2006 Soient \(a\) et \(b\) dans \(\mathbf{R}\). Nature de la surface d’équation \[x^2+xy-xz-yz+ax+bz=0\ ?\]

[oraux/ex4006] mines PSI 2011 Donner une condition nécessaire et suffisante sur \((\alpha,\beta)\in\mathbf{R}^2\) pour que l’ensemble : \[\left\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\ \alpha\left(\vphantom{|_|}\smash{(1+x)^2+(1+y)^2+(1+z)^2}\right) +2\beta(xy+yz+zx)=0\right\}\] soit un compact non vide.

[concours/ex0311] mines MP 1996 Trouver les courbes tracées sur la surface d’équation \(x^2+y^2-2z=0\) (repère orthonormé) telles que les tangentes fassent un angle constant \(\alpha\in\left[0,\displaystyle{\pi\over2}\right]\) avec \(Oz\).

[fct.R2/ex0940] Représenter et reconnaître la surface d’équation cartésienne : \[{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}-{z^2\over c^2}=1.\] Quelles sont les traces de cette surface sur les plans de coordonnées ?

[concours/ex2625] tpe, int, ivp M 1995 Nature et équation réduite de la quadrique : \(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=a\).

[fct.R2/ex1163] Soit \(\Sigma\) : \(x^2+y^2-2az=0\). Trouver les arcs \(C^1\) réguliers de \(\Sigma\) tels que la tangentes en \(M\) à l’arc rencontre \(Oz\) suivant un angle constant.

[oraux/ex5695] centrale PSI 2012 Nature de \(K=\left\{ (x,y,z)\in\mathbf{R}^3,\; xy +yz+xz+a(x^2+y^2+z^2)=b\right\}\) suivant \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) ? Pour quelles valeurs l’ensemble \(K\) est-il compact ?

[fct.R2/ex0451] Décrire et tracer le graphe de \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}-{z^2\over c^2}=1\), où \(a\), \(b\), \(c>0\).

[concours/ex2830] mines M 1994 Soit \((O,\mathchoice{\overrightarrow{i}}{\overrightarrow{i}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle i}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle i}},\mathchoice{\overrightarrow{j}}{\overrightarrow{j}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle j}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle j}},\mathchoice{\overrightarrow{k}}{\overrightarrow{k}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle k}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle k}})\) un repère orthonormé. Reconnaître la surface \(\Sigma\) d’équation \((x+y+z)^2-4yz=0\). Déterminer l’angle des plans tangents à \(\Sigma\) contenant la droite \((x=2y\ ;\ x=-z)\).

[fct.R2/ex0642] Calculer l’équation du plan tangent à l’ellipsoïde \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}+{z^2\over c^2}=1\) en \((x_0,y_0,z_0)\).

[planches/ex4731] polytechnique MP 2019 Décrire et représenter \(\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3\ ;\ x^2+y^2+z^2-2xz=1,\ x+z=0\}\).

[concours/ex2412] mines M 1995 Plans tangents communs à \(\{z=0,x^2+y^2=1\}\) et \(\{2xy=z\}\).

[concours/ex3816] centrale M 1992 Déterminer le tétraèdre de volume maximal inscrit dans une sphère de rayon \(R\), calculer son volume en fonction de \(R\). Reprendre l’exercice en remplaçant la sphère par un ellipsoïde.

[concours/ex0312] mines MP 1996 On considère la surface \(\Sigma\) d’équation \(x^2+y^2-z^2\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits^2\alpha=0\). Déterminer l’ensemble des points de \(\mathbf{R}^3\) par lesquels passent deux plans tangents à \(\Sigma\) orthogonaux entre eux.

[oraux/ex1807] mines MP 2006 Reconnaître et réduire la quadrique d’équation : \[2x^2+2y^2+z^2+2xz-2yz+4x-2y-z+3=0.\]

[concours/ex0480] centrale MP 1996 Soit \(\Sigma\) la surface d’équation \(x^2-y^2-z^2=a^2\) dans \(\mathbf{R}^3\) euclidien. Déterminer l’ensemble des projetés orthogonaux de \(O\) sur les plans tangents à \(\Sigma\).

[oraux/ex5780] centrale PC 2012 Pour \(b\in \mathbf{R}\), on considère \((S) : 2x^2+y^2-4xy-4yz=b\). Déterminer la nature de \((S)\) en fonction de \(b\). Déterminer la nature de l’intersection de \((S)\) avec le plan \(z=0\).

[concours/ex5768] mines MP 2007 On considère la quadrique \[\mathscr{S}\ :\ -2x^2+y^2-2z^2-4yz-4xy-2xz-6x-6y-6z=a,\] avec \(a\in\mathbf{R}\). Nature et forme réduite de \(\mathscr{S}\) ?

[oraux/ex4228] centrale MP 2011

1. Soient \(a\), \(b\), \(c\) des réels tels que \(b\leqslant c\). Montrer que \(a\) est dans \([b,c]\) si et seulement s’il existe \(y\) et \(z\) dans \(\mathbf{R}\) tels que : \(y^2+z^2=1\), \(by^2+cz^2=a\).

2. Soient \(a\), \(b\), \(c\) des réels tels que \(b\leqslant a\leqslant c\). Montrer qu’existent \(\alpha\) dans \(\mathbf{R}\) et \(P\) dans \(\mathscr{O}_3(\mathbf{R})\) tels que : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(a,b,c)={}^tP\left(\begin{array}{ccc}a&0&0\\0&a&\alpha\\ 0&\alpha&b+c-a\end{array}\right)P\).

3. Soient \(\mathscr{E}\) un ellipsoïde de \(\mathbf{R}^3\) centré en l’origine. Montrer qu’existe un plan \(P\) passant par l’origine tel que \(P\cap\mathscr{E}\) soit un cercle. Montre que les plans parallèles à \(P\) qui coupent \(\mathscr{E}\) le coupent selon un cercle. Déterminer les plans coupant \(\mathscr{E}\) selon un cercle.

[fct.R2/ex1160] Cercles de \(\Sigma\) : \(x^2+2y^2+3z^2=1\).

[fct.R2/ex0652] Montrer que les surfaces \(x^2+y^2+z^2=18\) et \(xy=9\) sont tangentes en \((3,3,0)\).

[fct.R2/ex0468] Décrire le graphe de la fonction \(f(x,y)=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\), où \(a>0\).

[oraux/ex1809] mines MP 2006 Équation réduite et nature de la surface d’équation : \[2x^2+2y^2+z^2+2xy-2xz-yz+4x-2y-z+3=0.\]

[oraux/ex1765] centrale 2004 Soit des réels \(a\), \(b\), \(c\) tels que \(0<c<b<a\). Pour tout \(\lambda\) réel autre que \(-a\), \(-b\), \(-c\), on note \(Q_\lambda\) la surface d’équation \(\displaystyle{x^2\over\lambda+a}+{y^2\over\lambda+b}+{z^2\over\lambda+c}=0\).

1. Étudier, selon \(\lambda\), la nature de \(Q_\lambda\).

2. Soit \(M\in\mathbf{R}^3\) un point dont aucune coordonnée n’est nulle. Montrer qu’il existe exactement trois réels \(\lambda\) tels que \(M\in Q_\lambda\).

3. Montrer que les plans tangents en \(M\) aux trois surfaces \(Q_\lambda\) passant par \(M\) sont deux à deux perpendiculaires.

[oraux/ex9438] mines MP 2013 Étudier la surface d’équation \[5x^2+13y^2+10z^2-6xy-12xz-4yz-14=0.\]

[oraux/ex4134] mines PC 2011 Nature de la surface d’équation : \(x-3y^2+7z^2=0\) ?

[oraux/ex5778] centrale PC 2012 Dans \(\mathbf{R}^3\), soient \((S)\) d’équation \(x^2+y^2+z^2=1\), \((\Sigma)\) d’équation \(x^2+y^2-2x=0\), et \(({\cal C})\) l’intersection de \((S)\) et de \((\Sigma)\).

1. Préciser la nature de \((S)\) et de \((\Sigma)\).

2. Montrer que tout point de \(({\cal C})\) est régulier.

3. Déterminer les projections orthogonales de \(({\cal C})\) sur les plans \((x=0)\), \((y=0)\) et \((z=0)\).

[oraux/ex3951] mines MP 2011 Soient \(S\) la surface d’équation \(xy=z^2\) de \(\mathbf{R}^3\), \(D\) la droite d’équations \(x=2\), \(y=3z-3\). Déterminer les points réguliers de \(S\) en lesquels le plan tangent à \(S\) contient \(D\).

[oraux/ex9500] mines PC 2014 En quels points de la surface d’équation \(x^2-y^2+z^2=7\) le plan tangent est-il parallèle au plan \(\Pi\) : \(x-2y+z=1\) ?

[oraux/ex9531] polytechnique MP 2016 Tracer dans \(\mathbf{R}^3\) les surfaces d’équations \(x^2+y^2-z^2=1\), \(x^2+y^2-z^2=-1\).

[oraux/ex9507] centrale PSI 2014 (avec Maple)

Soit \((S)\) la surface d’équation : \[x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx+3x-y+2z=0.\]

1. Trouver l’équation réduite de \((S)\) dans un repère orthonormé que l’on précisera.

2. Soit \(\vec u=(1,1,1)\). Déterminer \(\Gamma_{\vec u}\) la courbe constituée des points \(M\) de \((S)\) tels que la droite \((M,\vec u)\) soit tangente à \((S)\) en \(M\).

3. Tracer \((S)\) et \(\Gamma_{\vec u}\) sur la même figure.

[oraux/ex1861] mines PC 2009 Soient \((a,b,c)\in(\mathbf{R}_+^*)^3\) et \(\mathscr{S}\) la surface d’équation : \(\displaystyle{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}+{z^2\over c^2}=1\). Déterminer les plans tangents à \(\mathscr{S}\) coupant \((Ox)\), \((Oy)\) et \((Oz)\) respectivement en \(A\), \(B\), \(C\) avec \(\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}\).

[oraux/ex1863] centrale MP 2009

1. Montrer qu’un ellipsoïde, un paraboloïde elliptique et un hyperboloïde à deux nappes ne sont pas des surfaces réglées.

2. Soit \(\mathscr{P}\mathscr{H}\) un paraboloïde hyperbolique d’équation cartésienne réduite \(\displaystyle{z^2\over a^2}-{y^2\over b^2}=2z\) avec \(a>0\) et \(b>0\).

   1. Montrer que, par tout point \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) de \(\mathscr{P}\mathscr{H}\) passent deux droites incluses dans \(\mathscr{P}\mathscr{H}\).

   2. Proposer un paramétrage de \(\mathscr{P}\mathscr{H}\) de la forme \((u,t)\mapsto M(u,t)\) où \(M(u,0)=(au,0,u^2/2)\) et tel que, pour tout \(u\), \(t\mapsto M(u,t)\) paramètre une droite.

   3. Proposer un paramétrage \((\lambda,\mu)\mapsto P(u,t)\) de \(\mathscr{P}\mathscr{H}\)tel que, pour tout \(\lambda\), \(\mu\mapsto P(\lambda,\mu)\) paramètre une droite, et pour tout \(\mu\), \(\lambda\mapsto P(\lambda,\mu)\) paramètre une droite.

[examen/ex4256] imt PSI 2025 Trouver les plans tangents à la surface d’équation \(x^2+y^2+z^2+4x+6y-2z=1\), qui sont parallèles au plan d’équation \(x+y+z=0\).