Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex7863] polytechnique, espci PC 2022 Soient \(\alpha\), \(\beta\) deux réels. Pour \(n\geqslant 2\), on pose \(f_\beta(n)=\displaystyle\sum\limits_{k=2}^n(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits k)^\beta\).

1. Étudier la convergence de la série \(\displaystyle\sum\limits{n^\alpha\over f_2(n)}\).

2. Plus généralement, étudier la série \(\displaystyle\sum\limits{n^\alpha\over f_\beta(n)}\).

3. On suppose \(\alpha>0\). Déterminer un équivalent de \(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{n^\alpha\over f_2(n)}\) quand \(n\longrightarrow+\infty\).

[concours/ex8287] centrale PC 2010

1. Montrer la convergence de la suite de terme général \[u_n=\sum\limits_{k=1}^n{1\over\sqrt k}-2\sqrt n.\]

2. Soit \(\alpha\in\mathbf{R}_+^*\). Nature de la série de terme général \(v_n=\displaystyle{1\over n^\alpha}\sum\limits_{k=1}^n{1\over\sqrt k}\) ?

[planches/ex6746] mines MP 2021 Soient \(a\in\mathbf{R}_+^*\) et \(b\in\mathbf{R}\).

1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur \((a,b)\) pour que la série de terme général \(u_n=a^nn^b\) diverge.

2. Si cette condition est réalisée, donner un équivalent de \(\sum\limits_{k=1}^nu_k\).

[concours/ex2895] centrale M 1994 Étude de la série de terme général \(u_n=\displaystyle{n^\alpha\over\displaystyle\sum\limits_{k=1}^nk\mathop{\mathchoice{\hbox{log}}{\hbox{log}}{\mathrm{log}}{\mathrm{log}}}\nolimits^2k}\).

[planches/ex8765] centrale PC 2022

1. Montrer que la suite \(u\) définie, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), par \(u_n=\displaystyle{1\over n}+{1\over n+1}+\cdots+{1\over2n}\) converge, puis donner sa limite.

2. Montrer que la suite \(v\) définie, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), par \(v_n=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\left({1\over n+k}\right)\) converge.