Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex7770] ccp MP 2006

1. Étudier l’intégrabilité de \(\displaystyle{|\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(x)|^p\over\sqrt{1+x^2}}\) sur \(\left[1-\displaystyle{1\over n},1\right[\) pour \(n\geqslant 3\) et \(p\) réel.

2. Étudier la convergence de la série de terme général : \[A_n=\int_{1-1/n}^1{|\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(x)|^p\over\sqrt{1+x^2}}\,dx.\]

[planches/ex8765] centrale PC 2022

1. Montrer que la suite \(u\) définie, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), par \(u_n=\displaystyle{1\over n}+{1\over n+1}+\cdots+{1\over2n}\) converge, puis donner sa limite.

2. Montrer que la suite \(v\) définie, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), par \(v_n=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\left({1\over n+k}\right)\) converge.

[planches/ex8766] centrale PC 2022 Soit \((u_n)_{n\geqslant 0}\) telle que \(u_0>0\) et, pour \(n\in\mathbf{N}\), \(\displaystyle{u_{n+1}\over u_n}={(n+a)(n+b)\over(n+c)(n+d)}\) où \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) sont des réels strictement positifs.

1. Trouver un réel \(\alpha\) tel que la suite \((\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(n^\alpha u_n))\) converge.

2. On suppose que cette condition est vérifiée. Donner un équivalent de \((u_n)\).

3. Déterminer une condition sur \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) pour que la série \(\sum\limits u_n\) converge.

[concours/ex7719] mines MP 2006 Nature de la série de terme général \(\displaystyle{e-\left(1+\textstyle{1\over n}\right)^n\over n^{3/2}-\lfloor n^{3/2}\rfloor+n}\).

[concours/ex8070] mines MP 2009 Nature de la série de terme général \(u_n=\displaystyle{1\over n^\alpha}\left(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits k)^{1/3}\right)\) ?