Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex9265] centrale MP 2015 (avec Python)

Soit \(g:t\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\displaystyle{1\over\sqrt t+t\sqrt t}\). On pose, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \(u_n=g(n)\).

1. Quelle est la nature de la série de terme général \(u_n\) ?

2. On note \(R_n=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}u_k\). Montrer : \(\forall n\in\mathbf{N}^*\), \(2\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\displaystyle{1\over\sqrt{n+1}}\leqslant R_n\leqslant 2\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\displaystyle{1\over\sqrt n}\).

3. Montrer que \(R_n-\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits\displaystyle{1\over\sqrt n}-\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits{1\over\sqrt{n+1}}=O\left(\displaystyle{1\over n^{3/2}}\right)\).

4. Écrire un programme calculant la somme de la série \(\sum\limits u_n\) à \(10^{-3}\) près.

[concours/ex2333] mines M 1995 Nature de la série de terme général : \(\left(\displaystyle{n+a\over n+b}\right)^{\!\!n^2}\) (\(a\), \(b\) réels).

[concours/ex7452] mines 2003 Soient \(\alpha\in\mathbf{R}\) et pour \(n\geqslant 2\) : \[u_n={ne^{n^2}\over(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits n)^\alpha}\int_{n^2}^{+\infty}{e^{-t}\over t}\,dt.\]

1. Nature de la série de terme général \(u_n\) ?

2. Pour \(\alpha=1\), déterminer un équivalent de \(\sum\limits_{k=2}^nu_k\).

[examen/ex4068] imt MP 2025

1. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle \(\displaystyle\frac{1}{X^2(X+1)}\).

2. Pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), on pose : \(u_n=\displaystyle\sum\limits_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{k^2}\).

   1. Déterminer la nature de la série de terme général \(u_n\).

   2. Déterminer la nature de la série de terme général \(u_n-\displaystyle\frac{1}{n}\).

   3. Déterminer la nature de la série de terme général \((n\,u_n-1)\).

[concours/ex8070] mines MP 2009 Nature de la série de terme général \(u_n=\displaystyle{1\over n^\alpha}\left(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits k)^{1/3}\right)\) ?