Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex2028] mines MP 2017 Soit \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\). Quel est le minimum de la fonction \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\longmapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits({}^tMM)\) ?

[planches/ex5394] centrale PSI 2019

1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’une matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) soit diagonalisable dans une base orthonormale.

2. Une matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) dont le polynôme caractéristique est scindé sur \(\mathbf{R}\) est-elle trigonalisable dans une base orthonormale ?

[oraux/ex0779] mines MP 2009 Soient \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace euclidien et \(f\in\mathscr{L}(E)\). Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe une base orthonormée de \(E\) dans laquelle la matrice de \(f\) est triangulaire supérieure.

[planches/ex3926] centrale PSI 2018 Une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) est orthotrigonalisable s’il existe \(P\in\mathscr{O}(n)\) et \(T\) triangulaire telles que \(M={}^tPDP\). On veut déterminer l’ensemble des matrices orthotrigonalisables.

1. Déterminer les matrices orthotrigonalisables de la forme \(\pmatrix{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta&-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta&\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}\).

2. Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer que si le polynôme caractéristique de \(M\) est scindé dans \(\mathbf{R}\), alors \(M\) est orthotrigonalisable. Conclure.

[planches/ex1458] ens paris MP 2017

1. Un endomorphisme diagonalisable d’un espace euclidien \(E\) est-il diagonalisable en base orthonormée ?

2. Même question pour un endomorphisme trigonalisable.