Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex6245] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2006 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\).

1. Montrer que \(A\) est semblable à une matrice à diagonale nulle.

2. Montrer que \(A\) s’écrit \(XY-YX\) avec \((X,Y)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})^2\).

3. Montrer que \(A\) est orthosemblable à une matrice à diagonale nulle.

[oraux/ex5292] mines MP 2012 Soient \((E,\left<\;,\;\right>)\) un espace euclidien et \(f\in{\cal S}(E)\).

1. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur le spectre de \(f\) pour qu’il existe \(x_0\neq0\) tel que \(\left< f(x_0), x_0\right>=0\).

2. On suppose \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits f=0\). Montrer qu’il existe une base orthonormée de \(E\) dans laquelle la matrice de \(f\) n’a que des \(0\) sur la diagonale.

[examen/ex3705] mines PC 2025 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de trace nulle. Montrer qu’il existe une matrice orthogonale \(P\) telle que \(P^TMP\) soit de diagonale nulle.

[planches/ex6710] mines MP 2021 Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\) si et seulement si \(A\) est orthogonalement semblable à une matrice dont les éléments diagonaux sont nuls.

[oraux/ex8262] mines PSI 2016 Soient \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(u\) un endomorphisme de \(E\) symétrique tel que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(u)=0\).

1. Montrer qu’il existe \(x\) non nul dans \(E\) tel que \(\langle x,u(x)\rangle=0\).

2. Montrer qu’il existe une base orthonormée de \(E\) dans laquelle la matrice de \(u\) a une diagonale nulle.