Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex1706] polytechnique MP 2017 Soit \(T\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer qu’il existe une unique matrice dans \(\mathscr{S}_n^+(\mathbf{R})\), notée \(|T|\), telle que \(|T|^2={}^tTT\).

2. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits T=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits|T|\).

3. Montrer qu’il existe une unique \(U\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(U\) réalise une isométrie vectorielle de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits|T|\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits T\), \(U\) est nulle sur \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits T\) et \(T=U|T|\).

[oraux/ex3613] polytechnique MP 2011 Soient \(Q\) une forme quadratique positive sur \(\mathbf{R}^n\) et \(B\) la forme bilinéaire symétrique polaire. Soit \((a_i)_{1\leqslant i\leqslant p}\) une famille de vecteurs telle que, pour tout \(i\neq j\), \(B(a_i,a_j)<0\).

1. Soit \((c_i)_{1\leqslant i\leqslant p}\in\mathbf{R}^p\) tel que \(Q\left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^pc_ia_i\right)=0\). Montrer que \(Q\left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^p|c_i|a_i\right)=0\).

2. On suppose maintenant que \((a_i)\) est une base de \(\mathbf{R}^n\). Montrer qu’alors le noyau de \(B\) est de dimension 1 ou 0.

3. Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) telle que, pour tout \(i\neq j\), \(a_{i,j}<0\). Que peut-on dire de la multiplicité de la plus petite valeurs propre de \(A\) ?

[oraux/ex0820] centrale MP 2009 (avec Maple)

On note \(\varphi\) l’indicatrice d’Euler, et on définit trois matrices \(G_n\), \(A_n\), \(F_n\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) par : \([G_n]_{i,j}=\mathop{\mathchoice{\hbox{pgcd}}{\hbox{pgcd}}{\mathrm{pgcd}}{\mathrm{pgcd}}}\nolimits(i,j)\) ; \([A_n]_{i,j}=1\) si \(i\mid j\) et 0 sinon ; \(F_n=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(\varphi(1),\ldots,\varphi(n))\). On note \(D_n\) l’ensemble des diviseurs de \(n\).

1. Soit \(f:\{1,\ldots,n\}\rightarrow D_n\) définie par : \(\forall k\), \(f(k)=\mathop{\mathchoice{\hbox{pgcd}}{\hbox{pgcd}}{\mathrm{pgcd}}{\mathrm{pgcd}}}\nolimits(n,k)\). Montrer que tout \(d\in D_n\) admet exactement \(\varphi(n/d)\) antécédents par \(f\). En déduire que \(\sum\limits_{d\in D_n}\varphi(d)=n\).

2. Définir sous Maple les matrices \(G_n\), \(A_n\), \(F_n\), et vérifier que \(G_n={}^tA_nF_nA_n\).

3. Démontrer l’égalité précédente, et en déduire \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(G_n)\).

4. Déterminer une matrice \(B_n\) triangulaire supérieure à coefficients diagonaux positifs telle que \(G_n={}^tB_nB_n\). Qu’en conclure ?

[examen/ex0404] centrale MP 2023

1. Rappeler la définition de l’indicatrice d’Euler, exprimer \(\varphi(n)\) en fonction de sa décomposition en facteurs premiers.

2. Pour \(n\geqslant 2\), calculer \(\displaystyle\sum\limits_{d|n}\varphi(d)\) (la somme étant restreinte aux diviseurs positifs).

3. En déduire le déterminant de \(A\), où \(A_{i,j}=i\wedge j\).

[planches/ex6889] mines PSI 2021

1. Déterminer la borne inférieure des \(\lambda\in\mathbf{R}_+\) tels que : \[\forall A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R}),\quad\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^2)\leqslant\lambda\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AA^T).\]

2. Déterminer la borne inférieure des \(\lambda\in\mathbf{R}_+\) tels que : \[\forall A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R}),\quad|\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)|\leqslant\lambda\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AA^T).\]

3. Généraliser ces résultats à \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Pour le second point, on comparera \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)|^{2/n}\) à \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AA^T)\).