Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex0850] ens MP 2010 Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) à coefficients positifs. On suppose que : \(\forall i\in\{1,\ldots,n\}\), \(a_{i,1}+a_{i,2}+\cdots+a_{i,n}=1\), qu’il existe \(n_0\in\mathbf{N}^*\) tel que \(A^{n_0}\) ait tous ses coefficients strictement positifs, et qu’il existe \((u_1,\ldots,u_n)\in(\mathbf{R}_+^*)^n\) tel que : \(\forall(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2\), \(u_ia_{i,j}=u_ja_{j,i}\).

1. On pose, pour \(x\) et \(y\) dans \(\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\), \(\phi(x,y)=\sum\limits_{i=1}^nu_ix_iy_i\). Montrer que \(\phi\) est un produit scalaire.

2. Montrer que toutes les valeurs propres complexes de \(A\) sont dans l’intervalle \(\left]-1,1\right]\).

3. Montrer que 1 est racine simple du polynôme caractéristique de \(A\).

[planches/ex2022] mines MP 2017 Soit \(S\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe \(A\) antisymétrique telle que \(S+A\) soit orthogonale.

[oraux/ex8025] polytechnique MP 2014 On munit \(\mathbf{C}^n\) de sa norme hermitienne canonique. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).Montrer que : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{X\in\mathbf{R}^n\setminus\{0\}}{\|AX\|\over\|X\|}=\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits_{X\in\mathbf{C}^n\setminus\{0\}}{\|AX\|\over\|X\|}.\]

[oraux/ex8209] polytechnique MP 2016 Soient \(m\) et \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(M\) dans \(\mathscr{M}_{m,n}(\mathbf{R})\). On munit \(\mathbf{R}^m\) et \(\mathbf{R}^n\) de leur structure euclidienne canonique. On note \(S^{n-1}\) (resp. \(S^{m-1}\)) la sphère unité de \(\mathbf{R}^n\) (resp. \(\mathbf{R}^m\)). On note \(\sigma_1=\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits\{\langle u,Mv\rangle,\ u\in S^{m-1},\ v\in S^{n-1}\}\).

1. Montrer qu’il existe \(u_1\) dans \(S^{m-1}\) et \(v_1\) dans \(S^{n-1}\) tels que \(\sigma_1=\langle u_1,Mv_1\rangle\) et que, si \(M\neq0\), \(\sigma_1>0\).

2. Montrer que \(Mv_1=\sigma_1u_1\) et que \({}^tMu_1=\sigma_1v_1\).

3. reprendre ces questions avec \(\sigma_2=\mathop{\mathchoice{\hbox{sup}}{\hbox{sup}}{\mathrm{sup}}{\mathrm{sup}}}\limits\{\langle u,Mv\rangle,\ u\in S^{m-1}\cap u_1^\perp,\ v\in S^{n-1}\cap v_1^\perp\}\).

4. Montrer qu’il existe \(U\) dans \(\mathscr{O}_m(\mathbf{R})\), \(V\) dans \(\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) et \(\Sigma\) dans \(\mathscr{M}_{m,n}(\mathbf{R})\) telles que \(M=U\Sigma V\) et que les seuls coefficients non nuls de \(\Sigma\) soient \(\Sigma_{i,i}\) pour \(1\leqslant i\leqslant r\), tous strictement positifs. Interpréter ces coefficients à l’aide de la matrice \({}^tMM\).

[oraux/ex8222] polytechnique, ens cachan PSI 2016

1. Soit \(D=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(d_1,\ldots,d_n)\). Étudier l’image de \(f:X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\mapsto DX-XD\).

2. Soit \((u,v,w)\in\mathbf{R}^3\). Montrer qu’il existe \(x\in\mathbf{R}\) tel que : \[u\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2(x)+v\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2(x)+w\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x)\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(x)={u+v\over2}.\]

3. Soit \((x,y,z)\in\mathbf{R}^3\). Montrer que : \(\left|z-\displaystyle{x+y\over2}\right|\leqslant\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits(|z-x|,|z-y|)\).

4. On admet la propriété : pour toute \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), il existe \(P\) orthogonale telle que \(PAP^{-1}\) ait tous ses coefficients diagonaux égaux. Démontrer l’équivalence entre :

   1. il existe \(X\), \(Y\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(A=XY-YX\) ;

   2. \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\).

5. On se propose de démontrer la propriété admise plus haut.

   1. Examiner le cas \(n=2\).

   2. Soit \(\delta:M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits_{1\leqslant i,j\leqslant n}(|m_{i,i}-m_{i,j}|)\). Montrer que \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\mapsto\delta(PAP^{-1})\) possède un maximum.

   3. Supposons que \(\delta(A)>0\). Montrer qu’il existe \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) telle que \(\delta(PAP^{-1})<\delta(A)\). Conclure.