Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex9198] ens saclay, ens rennes MP 2023 Soit \(n \in \mathbf{N}^*\). On pose \(J=\pmatrix{0_n & -I_n \cr I_n & 0_n}\).

1. Déterminer les valeurs propres de \(J\) et leur multiplicité.

2. Soit \(A \in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe une matrice \(B \in\mathscr{S}_n^{++}(\mathbf{R})\) telle que \(B^2=A\).

3. Que peut-on dire de la matrice \(BJB\) ?

4. Lorsque \(A\) est diagonale, calculer les valeurs propres de \(JA\).

5. Montrer plus généralement que toute valeur propre d’une matrice antisymétrique réelle est imaginaire pure.

[oraux/ex0633] polytechnique, ens cachan PSI 2008 Soit \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace euclidien. Si \(v\in E\setminus\{0\}\), soit \(\varphi_v:x\in E\mapsto2\displaystyle{\langle v,x\rangle\over\langle u,v\rangle}\) et \(I_v=\{w\in E,\ \varphi_v(w)\in\mathbf{Z}\}\).

1. Déterminer \(I_v\).

2. Deux vecteurs non colinéaires \(v\) et \(w\) sont dits en position radicielle si \(v\in I_w\) et \(w\in I_v\). Montrer que l’ensemble des vecteurs en position radicielle avec \(v\) est stable par toute transformation orthogonale dont \(v\) est vecteurs propre. Montrer que si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits E=2\) cet ensemble est la réunion de \(v^\perp\setminus\{0\}\) et d’un ensemble fini à préciser. Généraliser en dimension quelconque.

[oraux/ex6649] ens lyon MP 2013 On fixe \(p\) un nombre premier impair. On admet que le groupe multiplicatif \((\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^*\) est cyclique. On note \(E\) le \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel des fonctions de \(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}\) dans \(\mathbf{C}\). On munit \(E\) du produit hermitien défini par \((f,g)\mapsto\displaystyle\sum\limits_{x\in\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}}\overline{f(x)}g(x)\). On choisit un générateur \(y\) de \((\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^*\). Pour \(j\) dans \(\{0,\ldots,p-2\}\), on définit \(\chi_j\in E\) par \(\chi_j(0)=0\) et \(\chi_j(y^s)=e^{i\textstyle{2\pi js\over p-1}}\) pour tout \(s\in\{0,\ldots,p-2\}\).

1. Montrer que \(\chi_j\) induit un morphisme de groupes de \((\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^*\) dans \(\mathbf{C}^*\).

2. Pour \(j\in\{0,\ldots,p-2\}\), calculer \(\displaystyle\sum\limits_{x\in\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}}\chi_j(x)\).

3. Que vaut \(\chi_j(-1)\) ?

4. On note \(e_0\) l’élément de \(E\) défini par \(x\mapsto\delta_{x,0}\). Trouver un complexe \(\lambda\) tel que : \((e_0,\lambda\chi_0,\lambda\chi_2,\ldots,\lambda\chi_{p-2})\) soit une base orthonormée de \(E\).

5. On fixe un générateur \(\zeta\) du groupe des racines \(p\)-ièmes de l’unité. On note \(\Phi\) l’endomorphisme de \(\mathbf{C}^n\) représenté dans la base canonique par la matrice \((\zeta^{(i-1)(j-1)})_{1\leqslant i,j\leqslant p}\). Calculer \(\Phi^2\), déterminer ses éléments propres. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits\Phi\).

[planches/ex5069] mines PSI 2019 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) une matrice symétrique. On pose \(\rho(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{max}}{\hbox{max}}{\mathrm{max}}{\mathrm{max}}}\limits\{|\lambda|,\ \lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)\}\) et on note \(E\) l’ensemble des vecteurs propres de \(A\) de norme 1 (pour la norme euclidienne canonique de \(\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\)). Pour \(X\in E\), on pose \(F(A,X)=\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits\left\{\vphantom{|_|}\smash{\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\left((A-uX{}^tX)^2\right)},\ u\in\mathbf{R}\right\}\) puis \(m(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits\{F(A,X),\ X\in E\}\). Montrer que \(m(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^2)-\rho(A^2)\).

[planches/ex7569] ens saclay, ens rennes MP 2022 Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) et \(X_0\in\mathbf{R}^n\setminus\{0\}\). Pour \(k\in\mathbf{N}\), on pose \(V_k:=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(A^iX0)_{0\leqslant i\leqslant k}\).

1. Montrer qu’il existe \(k_0\in\mathbf{N}\) tel que \(\forall k\in[[0,k_0]]\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits V_k=k+1\) et \(\forall k>k_0\), \(V_k=V_{k_0}\).

2. On définit par récurrence \((v_i)_{0\leqslant i\leqslant k_0}\) par \(v_0=\displaystyle{1\over\|X_0\|}X0\), \(\widetilde v_j:=Av_{j-1}-\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{j-1}\langle Av_{j-1},v_i\rangle v_i\) pour tout \(j\in[[1,k_0]]\), \(v_j=\displaystyle{1\over\|\widetilde v_j\|}\widetilde v_j\). Montrer que cette famille est bien définie et est une base orthonormale de \(V_{k_0}\).

3. Montrer que \(\widetilde v_j-Av_{j-1}\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(v_{j-1},v_{j-2})\) pour tout \(j\in[[1,k_0]]\), où \(v_{-1}:=0\).

4. On définit la matrice \(T\in\mathscr{S}_{k_0+1}(\mathbf{R})\) par \(t_{i,i}=\langle Av_i,v_i\rangle\), \(t_{i,i+1}=t_{i+1,i}=\|\widetilde v_{i+1}\|\) et \(t_{i,j}=0\) pour tout couple \((i,j)\in[[0,k0]]^2\) tel que \(|i-j|>1\). Montrer que \(T\) a le même spectre que l’endomorphisme induit par \(X\longmapsto AX\) sur \(V_{k_0}\).