Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex6245] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2006 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\).

1. Montrer que \(A\) est semblable à une matrice à diagonale nulle.

2. Montrer que \(A\) s’écrit \(XY-YX\) avec \((X,Y)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})^2\).

3. Montrer que \(A\) est orthosemblable à une matrice à diagonale nulle.

[oraux/ex5292] mines MP 2012 Soient \((E,\left<\;,\;\right>)\) un espace euclidien et \(f\in{\cal S}(E)\).

1. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur le spectre de \(f\) pour qu’il existe \(x_0\neq0\) tel que \(\left< f(x_0), x_0\right>=0\).

2. On suppose \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits f=0\). Montrer qu’il existe une base orthonormée de \(E\) dans laquelle la matrice de \(f\) n’a que des \(0\) sur la diagonale.

[planches/ex5065] mines PSI 2019 Soit \(E\) un espace euclidien et \(u\) un endomorphisme symétrique de \(E\) de trace nulle. Montrer qu’il existe une base orthonormée dans laquelle la matrice de \(u\) est à diagonale nulle.

[planches/ex7822] polytechnique PSI 2022 Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\) si et seulement s’il existe \(P\) orthogonale telle que \(PAP^T\) est à diagonale nulle.

[oraux/ex0589] centrale MP 2006 Soient \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace euclidien, \(u\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits u=0\).

1. Montrer qu’il existe \(x\in E\setminus\{0\}\) tel que \(\langle u(x),x\rangle=0\).

2. Montrer qu’il existe une base orthonormée de \(E\) dans laquelle la matrice de \(u\) est à diagonale nulle.