Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex6245] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2006 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\).

1. Montrer que \(A\) est semblable à une matrice à diagonale nulle.

2. Montrer que \(A\) s’écrit \(XY-YX\) avec \((X,Y)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})^2\).

3. Montrer que \(A\) est orthosemblable à une matrice à diagonale nulle.

[oraux/ex5292] mines MP 2012 Soient \((E,\left<\;,\;\right>)\) un espace euclidien et \(f\in{\cal S}(E)\).

1. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur le spectre de \(f\) pour qu’il existe \(x_0\neq0\) tel que \(\left< f(x_0), x_0\right>=0\).

2. On suppose \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits f=0\). Montrer qu’il existe une base orthonormée de \(E\) dans laquelle la matrice de \(f\) n’a que des \(0\) sur la diagonale.

[concours/ex3008] polytechnique M 1993 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=0\). Montrer qu’il existe \(U\) orthogonale telle que \(U^{-1}AU\) ait ses termes diagonaux nuls.

[planches/ex7822] polytechnique PSI 2022 Soit \(A\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\) si et seulement s’il existe \(P\) orthogonale telle que \(PAP^T\) est à diagonale nulle.

[oraux/ex8262] mines PSI 2016 Soient \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(u\) un endomorphisme de \(E\) symétrique tel que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(u)=0\).

1. Montrer qu’il existe \(x\) non nul dans \(E\) tel que \(\langle x,u(x)\rangle=0\).

2. Montrer qu’il existe une base orthonormée de \(E\) dans laquelle la matrice de \(u\) a une diagonale nulle.

[oraux/ex0917] centrale PSI 2010 Soient \((E,\langle\ ,\ \rangle)\) un espace euclidien et \(u\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(u)=0\).

1. Montrer qu’il existe \(x\in E\setminus\{0\}\) tel que \(\langle u(x),x\rangle=0\).

2. Montrer qu’il existe une base orthonormée de \(E\) dans laquelle la matrice de \(u\) a sa diagonale nulle.

[concours/ex1738] polytechnique PC 1999 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe une matrice orthogonale \(Q\) telle que \(Q^{-1}MQ\) ait le même nombre \(\lambda\) sur toute la diagonale.

[planches/ex6215] escp S 2021 Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2\) et \((E,\langle \,\ \rangle\)) un espace euclidien de dimension \(n\). On note \(\mathcal{B}=(e_1,\ldots,e_n)\) une base orthonormale de \(E\). Soit \(u\) un endomorphisme symétrique de \(E\) dont la matrice dans la base \(\mathcal{B}\) est une matrice \(A\).

On suppose que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\) et on se propose de montrer qu’il existe une base orthonormale dans laquelle la matrice associée à \(u\) a tous ses termes diagonaux nuls.

1. On suppose dans cette question que \(n=2\).

   1. On suppose que \(A\) n’est pas inversible. Montrer le résultat demandé.

   2. On suppose que \(A\) est inversible.

      1. Montrer qu’il existe une base orthonormale \(\mathcal{B}'=(v_1,v_2)\) de \(\mathbf{R}^2\) et un réel \(\alpha\) pour lesquels la matrice de \(u\) dans la base \(\mathcal{B}'\) est \(A'= \left(\begin{array}{cc} \alpha &0\\ 0&-\alpha\end{array}\right)\).

      2. On pose \(w_1=v_1+v_2\) et \(w_2=v_1-v_2\). Calculer \(u(w_1)\) et \(u(w_2)\) et en déduire le résultat demandé.

2. On revient au cas général où \(n\) est un entier quelconque supérieur ou égal à 2.

   1. 1. Montrer qu’il existe deux indices \(i\) et \(j\) de \([[1,n]]\), \(i\neq j\), tels que : \[\langle e_i,u(e_i)\rangle\times \langle e_j,u(e_j)\rangle \leqslant 0\]

      2. Soit \(\varphi\) la fonction définie sur \([0,1]\) par : \[\forall t\in[0,1],\quad\varphi(t)=\langle u(te_i+(1-t)e_j),te_i+(1-t)e_j\rangle,\] Montrer, en utilisant cette fonction, qu’il existe un vecteur \(x\) non nul tel que \(\langle u(x),x\rangle=0\).

   2. Montrer qu’il existe une base orthonormale de \(E\) dans laquelle la matrice de \(u\) est de la forme : \(\left(\begin{array}{cc|cc} 0& &\ast & \\ \hline \ast & & & \\ \vdots & & C & \\ \ast & & & \end{array}\right)\), où \(C\) est une matrice de \(\mathcal{M}_{n-1}(\mathbf{R})\).

   3. En déduire, par récurrence, la propriété énoncée au début de l’exercice.

[oraux/ex7853] polytechnique MP 2013 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Montrer qu’il existe \(P\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) telle que \({}^tAA=P(A{}^tA)P^{-1}\).

[planches/ex9775] mines MP 2023 Soient \(A\), \(M\), \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Montrer que \(A A^T\) et \(A^TA\) sont diagonalisables.

2. Montrer que \(MN\) et \(NM\) ont les mêmes valeurs propres et que, pour toute valeur propre non nulle, les sous-espaces propres associés sont de même dimension.

3. Montrer que \(A^TA\) et \(AA^T\) ont les mêmes valeurs propres avec les mêmes multiplicités.

4. Montrer qu’il existe \(U\in\mathscr{O}_n(\mathbf{R})\) telle que : \(A^TA=UAA^TU^{-1}\).