Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex8772] polytechnique MP 2009 Trouver les \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(A^3+A^2=2I_n\).

[planches/ex5587] ccinp PSI 2019 Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associé à \(A=\pmatrix{1&0&0\cr0&2&1\cr1&1&2}\). Soit \(g\) un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) tel que \(g\mathbin{\circ} g=f\).

1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(f\). L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?

2. On note \(e_1\) et \(e_3\) des vecteurs propres de \(f\) associés aux valeurs propres 1 et 3. Montrer que \(g(e_1)\) et \(g(e_3)\) sont aussi des vecteurs propres de \(f\) associés à 1 et 3 respectivement.

3. En déduire que \(e_1\) et \(e_3\) sont des vecteurs propres de \(g\).

4. L’endomorphisme \(g\) est-il diagonalisable ?

5. Déterminer l’ensemble des valeurs possibles pour le spectre de \(g\).

[planches/ex1988] mines MP 2017 Soit \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\). On suppose \[A(A^2-I_n)(A^{-2}-I_n)^2=0.\]

1. La matrice \(A\) est-elle forcément diagonalisable ? et si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^n)=n\) ?

2. On suppose \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^2)\). Que peut-on dire ?

[planches/ex6218] escp S 2021 Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\) est \(A=\pmatrix{ 1 & 1 &-1\cr -1 & 3 & -3\cr -2 & 2 & -2}\).

1. 1. Calculer le rang de \(f\). Déterminer une base de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f)\)

   2. Calculer \(A^2\) et son rang.

   3. Déterminer une base de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2)\).

   4. Montrer que \(\mathbf{R}^3=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2) \oplus \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-2Id)\).

   5. En déduire que \(A\) est semblable à la matrice \(B=\pmatrix{ 0 & 1 &0\cr 0 & 0 & 0\cr 0 & 0 & 2}\).

2. Dans cette question, on cherche à déterminer les endomorphismes \(g\) de \(\mathbf{R}^3\) tels que \(g^2=f\).

   1. Montrer que si \(g\) est une solution, alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-2Id)\) sont stables par \(g\).

   2. En déduire les solutions de l’équation \(g^2=f\).

[examen/ex1066] ens lyon MP 2024 Combien y-a-t-il de classes de similitude de \(\mathscr{M}_{3n}(\mathbf{R})\) constituées de matrices \(M\) telles que \(M^3=0\) ?