Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex0719] centrale PC 2013 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est continue sur \(D\).

3. Si \(x\in D\), montrer que \(1-x\in D\) et que \(f(1-x)=f(x)\).

4. Donner un équivalent de \(f\) aux bornes du domaine de définition.

[examen/ex3796] mines PC 2025 Soit \(\displaystyle f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^x(t+1)}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D_f\) de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est continue sur son domaine de définition.

3. Montrer que la droite d’équation \(x=\displaystyle\frac 12\) est un axe de symétrie de la courbe représentative de \(f\).

4. Montrer que \(f\) est minorée par une valeur que l’on explicitera.

5. Déterminer un équivalent de \(f\) en 0.

[planches/ex0850] mines MP 2016 Pour \(x\in\mathbf{R}\), on note, sous réserve d’existence, \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(I\) de \(f\).

2. Montrer que pour \(x\), \(y\in I\) tels que \(x<y\), \(f(y)-f(x)\) a le signe de \(x+y-1\).

3. Donner le tableau de variation de \(f\). Calculer le minimum de \(f\).

4. Donner un équivalent de \(f(x)\) aux bornes de \(I\).

[examen/ex4246] ccinp PSI 2025 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^x(1+t)}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est continue sur \(D\).

3. Pour tout \(x\in D\), montrer que \(1-x\in D\) et que \(f(1-x)=f(x)\).

4. Soit \(h:x\mapsto\displaystyle\int_0^1\frac{t^{x-1}}{1+t}\,\mathrm{d}t\).

   1. Montrer que \(h\) est continue sur \(\left]0,+\infty\right[\).

   2. Pour tout \(x\in D\), prouver \(f(x)=h(1-x)+\displaystyle\frac{1}{x}-h(1+x)\).

   3. Donner un équivalent de \(f\) en chaque borne de \(D\).

[concours/ex5719] mines MP 2007 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t^{x-1}\over1+t}\,dt\).

1. Donner le domaine de définition de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est de classe \(C^1\) sur son domaine de définition.

3. Quelle est la limite de \(f\) en \(0^+\) ?

4. Montrer que \(x=1/2\) est un axe de symétrie du graphe de \(f\).