Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex5719] mines MP 2007 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t^{x-1}\over1+t}\,dt\).

1. Donner le domaine de définition de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est de classe \(C^1\) sur son domaine de définition.

3. Quelle est la limite de \(f\) en \(0^+\) ?

4. Montrer que \(x=1/2\) est un axe de symétrie du graphe de \(f\).

[planches/ex2125] mines MP 2017

1. Déterminer le domaine de définition de \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

2. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^\infty\) et étudier les variations de \(f\).

3. Étudier \(f\) aux bornes de son intervalle de définition.

[examen/ex3810] mines PC 2025 On pose \(J:x\mapsto\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits^x(t)}\).

1. Domaine de définition de \(J\) ?

2. Étudier la continuité de \(J\).

3. Calcul de \(J(1)\) et \(J(2)\).

4. Déterminer une relation entre \(J(x+2)\) et \(J(x)\).

5. Expliciter \(J(2p)\) et \(J(2p+1)\) pour \(p\in\mathbf{N}^*\).

6. A-t-on \(J(x)\mathrel{\mathop{\thicksim}\limits_{x\to+\infty}}J(x+1)\) ?

7. Donner un équivalent de \(J\) en \(+\infty\).

[examen/ex0995] hec S 2024

1. Question de cours : énoncer les théorèmes de comparaison pour les intégrales généralisées.

   Soit \(f\) la fonction donnée par : \[f(x)=\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^xt\,dt.\]

2. Déterminer l’ensemble de définition de \(f\).

3. 1. Montrer que \(f\) est positive et préciser sa monotonie.

   2. En déduire que \(f\) admet une limite à droite et à gauche en 0.

   3. Montrer que l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)\,dt\) est convergente et que : \[\forall x\in\mathbf{R}_+\quad0\leqslant{\pi\over2}-f(x)\leqslant-x\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t))\,dt.\]

   4. En déduire la limite de \(f\) à droite en 0.

4. Former une relation entre \(f(x+2)\) et \(f(x)\) pour tout \(x>-1\).

5. On pose pour \(x>0\) : \[\varphi(x)=xf(x)f(x-1).\] Montrer que : \[\forall x>0\quad\varphi(x+1)=\varphi(x).\] Calculer \(\varphi(n)\) pour \(n\in\mathbf{N}^*\).

6. Déterminer un équivalent à \(f\) en \(-1^+\).

[oraux/ex2728] PC 2011 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)^x\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est définie et continue sur \(\left]-1,+\infty\right[\).

2. Calculer \(f(1)\). Montrer : \(\forall x>-1\), \((x+2)f(x+2)=(x+1)f(x)\). En déduire un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow-1^+\).

3. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\left]-1,+\infty\right[\).

4. Justifier : \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)\,dt=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t)\,dt=\displaystyle{1\over2}\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left({\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2t)\over2}\right)\,dt\). En déduire \(f'(0)\).