Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex0779] polytechnique, ens cachan PSI 2015 On pose \[f:x\mapsto\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}.\]

1. Déterminer l’ensemble de définition (réel) de \(f\).

2. Établir que \(f\) est continue sur son ensemble de définition.

3. Trouver un équivalent de \(f\) en 0.

4. Montrer que le graphe de \(f\) a pour axe de symétrie la droite d’équation \(x=1/2\).

5. Déterminer la borne inférieure de \(f\).

[examen/ex1965] mines PSI 2024 Soit \(f\) : \(\alpha\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha}(t+1)}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est continue sur \(D\).

3. Montrer que la courbe représentative de \(f\) admet la droite \(x=1/2\) pour axe de symétrie.

4. Justifier l’existence d’une borne inférieure pour \(f\) ; la déterminer.

5. Déterminer un équivalent de \(f\) en \(0\).

[planches/ex8577] centrale MP 2022 (avec Python)

Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t^{x-1}\over1+t}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\). Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\).

2. Tracer le graphe de \(x\longmapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\pi x)f(x)\) sur \(D\). Conjecture ?

3. Conjecturer la nature et la valeur de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+23x+x^2)\over x\sqrt x}\,dx\).

4. Montrer, pour \(x\in\left]0,1\right[\), que \(f(1-x)=f(x)\).

5. Pour quelles valeurs de \(k\in\mathbf{N}^*\) l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+x)\over x^{1+1/k}}\,dx\) est-elle convergente ? Calculer cette intégrale.

6. Démontrer la conjecture de 2.

[examen/ex4246] ccinp PSI 2025 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^x(1+t)}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est continue sur \(D\).

3. Pour tout \(x\in D\), montrer que \(1-x\in D\) et que \(f(1-x)=f(x)\).

4. Soit \(h:x\mapsto\displaystyle\int_0^1\frac{t^{x-1}}{1+t}\,\mathrm{d}t\).

   1. Montrer que \(h\) est continue sur \(\left]0,+\infty\right[\).

   2. Pour tout \(x\in D\), prouver \(f(x)=h(1-x)+\displaystyle\frac{1}{x}-h(1+x)\).

   3. Donner un équivalent de \(f\) en chaque borne de \(D\).

[planches/ex0719] centrale PC 2013 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est continue sur \(D\).

3. Si \(x\in D\), montrer que \(1-x\in D\) et que \(f(1-x)=f(x)\).

4. Donner un équivalent de \(f\) aux bornes du domaine de définition.