Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex9956] mines MP 2023 Soient \(C>0\), \(d>0\) et \(\alpha\in\mathbf{R}\).

Montrer que \(\displaystyle\int_0^de^{-tx^2}(C+x^2)^\alpha\,\mathrm{d}x\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{t\rightarrow +\infty}}\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{C^\alpha}{\sqrt{t}}\).

[concours/ex3881] ensi M 1992 Étudier \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{y\rightarrow1^-}\displaystyle{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-y)}\int_0^y{t^x\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t}\,dt\), avec \(x>0\).

[planches/ex4527] ens paris MP 2019 Déterminer la limite de \(\displaystyle{1\over A}\int_1^AA^{1/x}\,dx\) lorsque \(A\) tend vers \(+\infty\).

[concours/ex4039] polytechnique pox P 1990 Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow0}\displaystyle\int_0^x\sqrt{\displaystyle{1+t\over x^2-t^2}}\,dt\).

[planches/ex0691] mines MP 2013 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t\over1+t^2}e^{-xt}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition réel de \(F\).

2. Étudier la continuité et les variations de \(F\).

3. Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow0^+\) et quand \(x\rightarrow+\infty\).