Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex3642] mines M 1992 Soit \(I(a)=\displaystyle\int_0^{\pi/2} \left(a^3\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^3t+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^3t\right)^{-\textstyle{1\over3}}\,dt\). Équivalent quand \(a\) tend vers \(0^+\).

[oraux/ex2298] mines MP 2005 Soit, pour \(x>0\), \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}(1+e^{-t})^xe^{-tx}\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).

2. Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow0^+\).

[oraux/ex5376] mines MP 2012 Équivalent, lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), de \(f:x\mapsto\displaystyle \int_0^\pi x^t\,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t\,dt\).

[planches/ex9956] mines MP 2023 Soient \(C>0\), \(d>0\) et \(\alpha\in\mathbf{R}\).

Montrer que \(\displaystyle\int_0^de^{-tx^2}(C+x^2)^\alpha\,\mathrm{d}x\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{t\rightarrow +\infty}}\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{C^\alpha}{\sqrt{t}}\).

[examen/ex4243] imt PSI 2025 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^\pi\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t))\,\mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(F\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}\).

2. En déduire la limite de \(x\mapsto\displaystyle\frac{F(x)}{x}\) lorsque \(x\) tend vers 0.