Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex5120] mines PSI 2019 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^1e^{t^x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t}\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est définie sur \(\mathbf{R}\).

2. Montrer que \(f\) est croissante et continue sur \(\mathbf{R}\).

3. Donner une expression de \(f(x)\) comme somme de série pour \(x>0\).

4. Étudier la limite de \(f\) en \(+\infty\).

[concours/ex1898] ens MP 1999 Équivalent en \(+\infty\) de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\left(\displaystyle{te\over x}\right)^{\!x}\,dx\) ?

[planches/ex5294] mines PC 2019 Soit \(f\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R}_+^*)\). On pose \(F:a\in\mathbf{R}_+\longmapsto\displaystyle\int_0^1f(t)^a\,dt\).

1. Montrer que \(F\) est dérivable. Calculer \(F'(0)\).

2. Déterminer la limite de \(a\longmapsto(F(a))^{1/a}\) lorsque \(a\rightarrow0^+\).

[planches/ex0904] navale PSI 2016 Soit \(x>0\). Justifier l’existence de \[f(x)=\int_0^x{e^{-t}\over\sqrt{t(x-t)}}\,dt.\] Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\).

[planches/ex0741] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2014 Trouver un équivalent, lorsque \(t\rightarrow+\infty\), de : \[I(t)=\int_\mathbf{R}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+x^2)e^{-t(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits x)^2}\,dx.\]