Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex0752] mines MP 2014 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(F\). Étudier la continuité, le caractère \(\mathscr{C}^1\), les variations de \(F\) sur son domaine de définition.

2. Donner un équivalent de \(F\) aux bornes de ce domaine.

[concours/ex1095] polytechnique MP 1998 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t+t^{x+1}}\). Définition, continuité, dérivabilité, limites en \(0\) et \(+\infty\), équivalent en \(0\) ?

[oraux/ex2405] polytechnique, espci PC 2009 Soit \(f:x\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Montrer que \(f\) est bien définie. Étudier la monotonie de \(f\).

2. Calculer, pour \(x\in\mathbf{R}_+^*\), \(f(x+1)+f(x)\).

3. Donner des équivalents de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).

[concours/ex2906] centrale M 1994 Soit, pour \(x\) réel, \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t+t^{1+x}}\). Étudier l’ensemble de définition et la continuité de \(f\). Trouver un équivalent de \(f\) en \(0\) et étudier sa limite en \(+\infty\).

[planches/ex2392] mines PC 2017 On pose, lorsque l’intégrale est définie, \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{t^{-x}\over1+t}\,dt\).

1. Donner le domaine de définition de \(f\), étudier sa continuité et sa monotonie.

2. Calculer \(f(x)+f(x+1)\). En déduire un équivalent de \(f\) en \(+\infty\).