Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex0799] mines MP 1997 Soit \(I(\alpha)=-\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^\alpha)\,dt\), avec \(\alpha>0\). Étudier l’existence de l’intégrale ; écrire \(I(\alpha)\) comme somme d’une série. Déterminer la limite de \(I(\alpha)\) lorsque \(\alpha\) tend vers \(0\). Déterminer la limite et un équivalent de \(I(\alpha)\) quand \(\alpha\) tend vers \(+\infty\).

[oraux/ex2250] mines 2003

1. Existence, pour \(x>0\), de : \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{t-\lfloor t\rfloor\over t^{x+1}}\,dt\).

2. On pose \(\gamma=\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{n\rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{1\over k}-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits n\right)\) et \(\zeta(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{1\over n^x}\) pour \(x>1\).

   Calculer \(I(1)\) et \(I(x)\) pour \(x>1\) à l’aide de \(\gamma\) et de \(\zeta(x)\).

3. Continuité de \(I\) sur \(\left]0,+\infty\right[\) ?

4. Montrer que, lorsque \(x\) tend vers 1, \(\zeta(x)=\displaystyle{1\over x-1}+\gamma+o(1)\).

[oraux/ex2260] centrale 2003 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t\,\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,dt\).

1. Justifier la définition de \(f\).

2. Développer \(f\) en série de fonctions. Indiquer le domaine de définition de la somme de la dite série.

3. Étudier les limites en 0 et en \(+\infty\) de \(f\).

[planches/ex0853] mines PSI 2016 Pour \(x>0\), on pose \[f(x)=\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,dt.\]

1. Montrer que \(f\) est bien définie.

2. Écrire \(f\) comme somme d’une série de fonctions.

3. Déterminer la limite de \(f\) en 0.

[planches/ex6915] mines PSI 2021 Pour \(x>0\), on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est correctement définie.

2. Exprimer \(f(x)\) sous forme de la somme d’une série de fonctions.

3. Donner un équivalent de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\). On admettra : \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{1\over n^2}={\pi^2\over6}\).