Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex5111] mines PSI 2019 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\).

2. Écrire \(f\) comme somme d’une série de fonctions.

3. Déterminer la limite de \(f\) en 0.

[planches/ex6915] mines PSI 2021 Pour \(x>0\), on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est correctement définie.

2. Exprimer \(f(x)\) sous forme de la somme d’une série de fonctions.

3. Donner un équivalent de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\). On admettra : \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{1\over n^2}={\pi^2\over6}\).

[oraux/ex2260] centrale 2003 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t\,\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,dt\).

1. Justifier la définition de \(f\).

2. Développer \(f\) en série de fonctions. Indiquer le domaine de définition de la somme de la dite série.

3. Étudier les limites en 0 et en \(+\infty\) de \(f\).

[examen/ex0296] mines PC 2023 Soit \(\alpha>0\). On définit \(I(\alpha)=\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1-t^\alpha\right)\,\mathrm{d}t\).

1. Déterminer le domaine de convergence de \(I(\alpha)\).

2. Écrire \(I(\alpha)\) comme la somme d’une série.

3. Déterminer la limite de \(I(\alpha)\) quand \(\alpha\) tend vers 0.

4. Déterminer la limite et un équivalent de \(I(\alpha)\) quand \(\alpha\) tend vers \(+\infty\).

[planches/ex0717] centrale PSI 2013 (avec Maple)

Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,dt\).

1. Calculer \(f(1)\), \(f(2)\).

2. Déterminer l’ensemble de définition \(D\) de \(f\).

3. Montrer qu’il existe une suite \((P_n)_{n\in\mathbf{N}^*}\) de polynômes telle que : \[\forall x\in D,\quad f(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{1\over P_n(x)}.\]

4. Étudier la monotonie de \(f\) et ses limites aux bornes de \(D\).

5. Tracer le graphe de \(f\).

6. Montrer qu’il existe \(A\in\mathbf{R}^*\), \(\alpha\in\mathbf{R}\) tel que \(f(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\rightarrow+\infty}}\displaystyle{A\over x^\alpha}\).