Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex2906] centrale M 1994 Soit, pour \(x\) réel, \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t+t^{1+x}}\). Étudier l’ensemble de définition et la continuité de \(f\). Trouver un équivalent de \(f\) en \(0\) et étudier sa limite en \(+\infty\).

[examen/ex0694] ccinp MP 2023 On pose \(G:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t(x+t)}\,\mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(G\) est bien définie pour \(x>0\).

2. Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Montrer que \(\displaystyle\int_0^y\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t(n+t)}\,\mathrm{d}t=\frac{1}{n}\left(\int_0^n\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t}\,\mathrm{d}t-\int_y^{y+n}\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t}\,\mathrm{d}t\right)\).

3. On pose \(H(n)=nG(n)\). Montrer que la série de terme général \(H(n+1)-H(n)-\displaystyle\frac{1}{2n}\) converge. En déduire un équivalent de \(G(n)\).

[planches/ex2579] centrale PSI 2017 Soit \(F:x\longmapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}{1\over t^{x+1}+t+1}\,dt\).

1. Trouver le domaine de définition de \(F\).

2. Montrer que \(F\) est dérivable sur son domaine de définition et exprimer sa dérivée.

3. Montrer que \(F(x)\sim\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits3\over2x}\) au voisinage de \(+\infty\).

[planches/ex5289] mines PC 2019 On pose \(G:(x,y)\longmapsto\displaystyle\int_0^y{t-\lfloor t\rfloor\over t(t+x)}\,dt\).

1. Montrer que \(G\) est définie sur \((\mathbf{R}_+^*)^2\).

2. Soit \(x\in\mathbf{R}_+^*\). Montrer que \(y\longmapsto G(x,y)\) admet une limite finie, notée \(G(x)\), quand \(y\) tend vers \(+\infty\).

3. Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Montrer que \(G(n,y)=\displaystyle{1\over n}\left(\int_0^n{t-\lfloor t\rfloor\over t}\,dt-\int_y^{y+n}{t-\lfloor t\rfloor\over t}\,dt\right)\).

4. On pose \(H(n)=nG(n)\). Montrer que la série de terme général \(H(n)-H(n-1)-\displaystyle{1\over2n}\) converge et en déduire un équivalent de \(G(n)\).

[concours/ex0256] mines MP 1996 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{t-E(t)\over t(t+x)}\,dt\). Domaine de définition de \(f\) ? Limites et équivalents en \(0\) et en \(+\infty\).