Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex0781] polytechnique, ens cachan PSI 2015 Soient \[f:x\in\left[0,+\infty\right[\mapsto\int_0^xe^{-t^2}\,dt\quad\hbox{et}\quad g:x\in\left[0,+\infty\right[\mapsto\int_0^1{e^{-(t^2+1)x^2}\over1+t^2}\,dt.\]

1. 1. Calculer \(g(0)\) et montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow+\infty}g(x)=0\).

   2. Montrer que \(g\) est dérivable et calculer \(g'\) en fonction de \(f\) et \(f'\).

   3. Calculer \(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\,dt\).

2. Soit \(\varphi\) une application de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) continue par morceaux et bornée. On pose pour tout \(n\in\mathbf{N}\) et pour tout \(x\in\mathbf{R}\), \(\varphi_n(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(y)e^{-n^2(x-y)^2}\,dy\). Montrer que \(\varphi_n\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}\) et que la suite \((\varphi_n)_{n\in\mathbf{N}}\) converge simplement vers \(\varphi\).

[oraux/ex2456] polytechnique, ens cachan PSI 2010 Soit, pour \(x\in\mathbf{R}_+\), \(f(x)=\displaystyle\int_0^xe^{-t^2}\,dt\), \(F(x)=\displaystyle\int_0^x{e^{-x^2(1+t^2)}\over1+t^2}\,dt\) et \(F_1(x)=-2x\displaystyle\int_0^1e^{-x^2(1+t^2)}\,dt\).

1. Exprimer \(F_1\) en fonction de \(f\) et de \(f'\). En déduire que \(F_1\) est de classe \(C^\infty\).

2. Montrer : \(\forall u\in\mathbf{R}_+\), \(\displaystyle\int_0^uF_1(x)\,dx=F(u)-\pi/4\).

3. Montrer : \(\forall u\in\mathbf{R}_+\), \(F(u)+f(u)^2=K\) où \(K\) est une constante à déterminer.

4. Déterminer la limite de \(F\) en \(+\infty\). En déduire la limite \(\ell\) de \(f\) en \(+\infty\).

[planches/ex5420] centrale PSI 2019 Pour \(x\in\mathbf{R}_+\), on note \(F(x)=\displaystyle\int_0^{\sqrt x}e^{-t^2}\,dt\) et \(G(x)=\displaystyle\int_0^1{e^{-(t^2+1)x}\over t^2+1}\,dt\).

1. Montrer que \(I=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\,dt\) existe.

2. Montrer que \(G\) existe et qu’elle est de classe \(\mathscr{C}^1\). Calculer \(G(0)\).

3. Montrer que pour \(x>0\), \(G'(x)=-2F(x)F'(x)\) et en déduire la valeur de \(I\).

[examen/ex4240] ccinp PSI 2025 Le but est de calculer l’intégrale \(A=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-u^2}\,\mathrm{d}u\).

On pose \(\psi:x\in\mathbf{R}^+\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}\,\mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(\psi\) est définie et continue sur \(\mathbf{R}^+\).

2. Montrer que \(\psi\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}^{+*}\).

3. Calculer \(\psi(0)\) et déterminer la limite de \(\psi\) en \(+\infty\).

4. Montrer que, pour tout \(x>0\), \(\psi'(x)=-A\displaystyle\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}\).

5. Montrer que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\psi'(x)\,\mathrm{d}x=-2A^2\). En déduire la valeur de \(A\).

[planches/ex0734] ccp PSI 2013

1. Montrer que \(I=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\,dt\) est convergente.

2. Soit \(F:x\in\mathbf{R}_+\mapsto\displaystyle\int_0^1{e^{-x(1+t^2)}\over1+t^2}\,dt\) et \(G:x\in\mathbf{R}_+\mapsto\displaystyle\int_0^xe^{-t^2}\,dt\). Montrer que \(F+G^2\) est constante. Déterminer la limite en \(+\infty\) de \(F\). En déduire la valeur de \(I\).